Інтеграл Пуассона

Інтеграл Пуассона— загальна назва математичних формул, що виражають рішення крайової задачі або початкової задачі для рівнянь з окремими похідними деяких типів.

Зміст

Інтеграл Пуассона для завдання Діріхле для рівняння Лапласа в кулі виглядає так.

де ωn- площа одиничної сфери, аn- розмірність простору.

Висновок формули у двовимірному випадку

Відомо, що функція

u ( r , φ ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( r R ) n ( a n cos ⁡ n φ + a

є рішенням задачі Діріхле для рівняння Лапласа у колі. Перетворимо цей вислів з урахуванням виразів для коефіцієнтів Фур'є:

Таким чином, у перетвореному вигляді інтеграл Пуассона для кола набуває вигляду:

Проводячи заміну змінної в інтегралі, отримаємо вираз:

Це вираз еквівалентно вищенаведеному:

Однорідне рівняння

Розглянемо завдання Коші дляоднорідногорівняння теплопровідності:

0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb ^,\\\end>>"> ∂ u ∂ t − a 2 ? in \mathbb ^,\;t>0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb ^,\\\end>> 0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in >^,\\end>" data- >

Фундаментальним рішеннямабоядромрівняння теплопровідності називається розв'язання задачі Коші для однорідного рівняння теплопровідності з початковою умовою φ(x) = δ(x), де δ(x) — дельта-функція Дірака. Воно має вигляд:

Інтеграл Пуассона задає єдине безперервне та обмежене вирішення цього завдання Коші за такою формулою [1] :

Неоднорідне рівняння

Розглянемо завдання Коші длянеоднорідногорівняння теплопровідності:

0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb ^.\\\end>>"> ∂ u ∂ t − a 2 ? (x, t), \quad x\in \mathbb ^,\;t>0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \ mathbb ^.\\end>>0,\<>\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in &^^; data- >

У цьому випадку інтеграл Пуассона має вигляд [2] :

---