Інтегральне визначення логарифмічної функції - MathHelpPlanet
Ми знаємо, що при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbbQS4qAAAAEHR ZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3 1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4JK gg==" /> виконується рівність
Воно дозволяє дати нове визначення логарифмічної функції, що не спирається на поняття показової функції. Саме, покладемо за визначенням, що при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaBCD pQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEU RU5ErkJggg==" />
Виведемо, виходячи з цього визначення, властивості логарифмічної функції.
а) Логарифмічна функція визначена всім позитивних значень . Насправді, функція безперервна при 0"png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHow ksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJ 5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAa , тому через теореми про існування певного інтеграла інтеграл існує при всіх 0" png; base64,iVBORw0KGgoAAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbbQS4qAAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFR AIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4 QXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRC≫
б) Логарифмічна функція диференційована, і її похідна в будь-якій точці 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA RDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0 pGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRoj4 QAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==" /> дорівнює
Насправді, функція безперервна при 0"png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACwAAAAQBAMAAACfEoDkAAAAMFBMVEVhcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAATPQ5AAAAEHRSTlMA/gFBIaW CAWcNiAqQo04fqtT4AkpySqKKcMQ74CAwO3CIgzrQEmzLeAwbGAgUH3A4jDftsBKtwYwKAYwOCWeK0AxFN+ChU3TGBQfMTgnFh8gAEibgAXFmJg2 xpL7ASo8CckZ7NADHEEumQB0NnsBRArV0Gs1F/AcLCAgVWgC2wn81KoA9lFGBIbGJhF14A5V2HeYdhfLQMke8DsaXBRBp7KBgYA/b0ohK58g2cAA похідною певного інтеграла зі змінною верхньою межею маємо:
Оскільки будь-яка функція, що диференціюється, безперервна, то логарифмічна функція безперервна при 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAAACAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxgla O3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux KCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==" />.
в) Логарифмічна функція строго зростає при 0" png; base64, iVBOR oLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFU 3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Us QAAAABJRU5ErkJggg==" />. Справді, якщо 0"png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qaAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAM ZJREFUKM+1UksS wyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM 1exAEcTUHaF4R5Z zFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg ==" />, до 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADcAAAAqBAMAAADlvd4wAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcR+npNbQuchQRIxsc77gUkAAAEESURB VD jLY2AgBJgP4JYz7SvAKcdoFleAx1g7GkkuGAA7yZUs03PGGbiMxsbGCRii4gvh8hhybK0RuD0/I4GtE1WEJxLO9GNgfIqmvsgTxmoSYNQQQJOtVyeIMD4SYNRDl2SYApHlAUluwHDJlDaQL N cjBgY9YNCkhoIBXNlkNSTJFBcwgEtuBklyY7WTYaoaSIwRm2sZpqiBQ4sR6M8n6HIlUK8wrFvA9QpNbpE7jCXWbIEWGTyeiKialoknAQgKMFAIuDcwTsApd7c1SRWXJMuBdYp9uCRLGdZl K+ NJ txMEcWdtDdx+4gEG8S5cknFpjxnMcElemtQsdgGX5Nk7Z3E4FgBqgD9BMpumtQAAAABJRU5ErkJggg= =" style="vertical-align: middle;" />, стор. е. Ласкаво просимо в засніжену місцевість. Таким чином, функція строго збільшується.
г) Маленький і трохи менше 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUg AAAEQAAAAQBAMAAABdIsRgAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAD3RSTlMAwAH/RIFqIaExENCxkemAe0WOAAABE0lEQV Qoz2NgIAxqZBXwyHJ5AollD/EpybuxE0g K4lHCYskQtwCbEtcFMBbPBobiBCxKmNgkCqBMZQEG5QMMTIIKiZKOoiCNa0XZZMEyKjA1zgcYlB8BlTD4GCZNvgB0/UltUT8HiBpBCO0cwKBsBLKI xYKB8QEDA4cD46PmCRDtnI1OqEpMGRiBDDUG vQMrYQ5ib3RAU6IIZDAxTE6Au5m9D6xEAOQWBkEGqBIGpuQJCEPAFi0WAHkKogRkEc8FOQVFSAioHIQ4VxscLky7gRYpaAOVOB83ZA >png;base64,iVBORw0KGgoAAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA і bQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5f k+4NzfjiQvv/QXwkz++ /6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQH YIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2f J81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==" /> і при .
д) Якщо 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATBAMAAADYAbjmAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA+jSoGAAAADHRSTlMAvyhB56FpgBDQkFHg6FX2AAAAy0lEQVQoz2N gIA8wK+CRZPMKwSNtY8DmgSbEVARnijBwHEPXYRgEYzkyMBwEUl3i3V JI0sFQU4BSPgwMHEKcU1USENKmwhAXA2VlGBhYDRhPxBgwMMOlVaWRZNkYWASaGKwcEbpVvRGyDAw6QHM1ChGy6rOh9p 4B8XIMgARCVnUamALKHgHau0CGgRNJVlUY7t+jwDCROMKQjpA1hEoy7FFgO8TAwLnSMrAALos /> і 0" png; base64, iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATCAMAAAAd8VXnAAAAOVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADLcPMfAAAAEnRSTlMANYHQITEQwEGh4HGQYVHwsQGBXjDVAAA9klEQVQ4y72TyW7FIAxFLQYPDAn4/z+2OKSt8kJfpUgtCxbAsX2vDcA/rs6xPwJrKpLi A5 CVAfKObx9FF+6HLY0NNf8Sn+SV7TvZrmRSsZDDjcoPLF8Ogh5k0kEixe69xL2u8wrxReZBkpEWlBTFlAfmOxuEtn4l4SCrFd8Ah9FRuHlcsWlb5DQTT6vIAaSF3uD8JxknqSeZdRYpMmi6Z/ T1q9p+ktYbKdBG hO7nbXI3lbzopxyFo+4j7yTyVScTvXi26TCkqvXZF89eyJ0v8f0kALg9uzQ7aJMfTquGPd9zFRec1Z/rzf9AzFt58oGajuX+/IN /AGa9CaC3YPi9AAAAElFTkSuQmCC" style="vertical-align: middle;" />
Насправді ми маємо:
Зробимо заміну в другому інтегралі. Коли змінюється від до , змінна змінюється від 1 до . тому значення,
Методом математичної індукції можна довести справедливість рівності (1) для будь-якої скінченної множиниположительных чисел
е) Якщо 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATBAMAAADYAbjmAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAvyhB56FpgBDQkFHg6FX2AAAAy0lEQVQoz2Ng IA 8wK+CRZPMKwSNtY8DmgSbEVARnijBwHEPXYRgEYzkyMBwEUl3i3VJI0sFQU4BSPgwMHEKcU1USENKmwhAXA2VlGBhYDRhPxBgwMMOlVaWRZNkYWASaGKwcEbpVvRGyDAw6QHM1ChGy6rOh9p4B8 XIMgARCVn UamALKHgHau0CGgRNJVlUY7t+jwDCROMKQjpA1hEoy7FFgO8TAwLnSMrAALos /> и 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADkAAAATCAMAAAAd8VXnAAAAOVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADLcPMfAAAAENRSTlMANYHQITEQwEGh4HGQYVHwsQGBXjDVAAAA9klEQVQ4y72TyW7FIAxFLQYPDAn4/z+2OKSt8kJfpUgtCxbAsX2vDcA/rs6xPwJrKpLiA 5CVAfKObx9FF+6HLY0NN f8Sn+SV7TvZrmRSsZDDjcoPLF8Ogh5k0kEixe69xL2u8wrxReZBkpEWlBTFlAfmOxuEtn4l4SCrFd8Ah9FRuHlcsWlb5DQTT6vIAaSF3uD8JxknqSeZdRYpMmi6Z /T1q9p+ktYbKdBGhO7nbX I3lbzopxyFo+4j7yTyVScTvXi26TCkqvXZF89eyJ0v8f0kALg9uzQ7aJMfTquGPd9zFRec1Z/rzf9AzFt58oGajuX+ /IN/AGa9CaC3YPi9AAAAAElFTkSuQmCC" style="vertical-align: middle;" />, щоб виконати рівність
В samouls деле, иimes равенства (1) слід, чisionо откуда бе201 тру advance поорсеается треуемое равенство (3).
ж) Якщо 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJ REFUK M+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kybloOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1ex AEcTUHaF4 R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==" /> и — натуральное число, то
Це легко випливає з рівня (2).
з) Логарифмічна функція прагне к , коли , і к , коли
Наприклад, розмір розміру 1" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgaAAAC4AAAATBAMAAAAdcyJ3AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAAcEnpULlgRHQUZFiJ/hrwwAAAKlJREFUGNNjYCAB MGMXFnUSwCbMnnIJSXx5A5wpiCzOM9sAxmQEi3MU7SgG8aRUDJDFGc0Kl92AWKcSgCTOkcTANhHCZ3UKRIiz32 LodYC528kALi6WyLD2AEzccwFcvFeRYa8BTDmSObIbGKZBnCuqhGwvpwP3FY itcHcK3hQEas5WugP21xSYMPvdu3eBOoWlL6OHg6AgiOJMxBqqjLaOWMVZlJSwiAIAYEImbANLL8IAAAAASUVORK5CYII =" style="vertical-align: middle;" />. Тоді Якщо 0" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEIAAAATBAMAAADWqMaJAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAAADnRSTlMAAcB/m0Fd6RE+ITH QsTRbfl4AAAESSURBVCjPY2AgC NYqCeCW5IgCEm11eFSY22oAST3cKtheMfgIYFGR3ABj8SgwxCVgUcF2GKZknQGDnANIRZJarApIkMPJwxokIVayAKI /> при 1" png;base64,iVBORw0K GgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAATBAMAAAAdcyJ3AAAAKlBM VEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADXRSTlMAAcEnpULlgRHQUZFiJ/hrwwAAAKlJREFUGNNjYCABMGMXFnUSwCbMnnIJSXx5A5 wpiCzOM9 sAxmQEi3MU7SgG8aRUDJDFGc0Kl92AWKcSgCTOkcTANhHCZ3UKRIiz32LodYC528kALi6WyLD2AEzccwFcvFeRYa8BTDmSObIbGKZBnCuqhGwvpwP3FYitcHcK3hQEas5WugP21xS style="vertical -align: посередині;" />, то
Якщо хочеш, то зі сніжинки можна отримати сніжинку Не бійся, и потому Так як
Видаліть сніжинки сніжинки і сніжинки (5) сніжинки, будь ласка, ство її значення входить до безлічі всіх дійсних чисел. Якщо ви хочете, ви можете отримати посмішку на вашому обличчі, ви можете отримати посмішку на вашому обличчі приємно. Опублікувати це значення буквой е. І нарешті, трохи дешевші сніжинки
и) Справедливо равество На землі, на протилежній стороні монетимаємо:
Значить, і , тобто .
При описаному вище побудові теорії логарифмічної функції ми визначаємо показову функцію як зворотну логарифмічної (існування зворотної функції випливає з того, що функція строго зростає і безперервна на проміжку. Властивості показової функції при цьому виводяться з властивостей властивостей логарифмічної функції.
Нарешті, визначимо ступінь з будь-яким показником, поклавши за 0\colon
x^= e^>" XXAC4AAAAfNJREFUSMftle2SqyAMhgkhHwuo3P/VnoC61RZd/LdnZpmxM62UPCTvmzj3t/7rlUr4zXh/dMr8aPuiLzoKi2Om9StxINaHwQPdvp9R 2pd6FH+XG/YtTB48MKNzYYr8XVl7QllPIgcz5wd0NIllr8TrHV7qB4wWpBgXFXzpzsg2uvrD9THYeTW3/T79oGyQQbgVZHfDmU4pWFmv+ nMYnteIKmmpEe+d4n59kespV2OrygDEtvjNKMww4+uIIGaYU5ZdEntLAQICVIAaLURZMz7Ocgum148nvL3ZoHS6MToYkkkCzL4FGnuVOCeFjfdmfbSj6 Lr5i+Ww9sLEFmacrl4LTYWxUwMvn3TnqzWfOhpunVA4mhAeNdq+F2l+0U2bKz7voEUedPTiRR6OgW6Ac2Vho/scF3zVBHuVjSU/InMCNNcA5y737o 7GlVAm8hZawd11lOZKreLXg2e1ANWaj48dqGF0eKK4nIARMNFtN7ZGmxdfIaglcBds9tGnNF4u8iAeHwhPjYuOlUldIRH31KzueuZc8MXxvf8AU2 >.
З властивостей логарифмічної та показової функцій випливає, що за 0"png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHow ksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJ 5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAa і маємо:
Тому. Це показує, що це визначення ступеня збігається зі звичайним.