Інтуїціоністська логіка - це
Окремі риси інтуїціонізму можна простежити ще в античній математиці, а пізніше у висловлюваннях таких вчених, як Гаус, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Е. Борель. Однак у своєму сучасному вигляді інтуїціонізм виник як результат критичного перегляду основ класичної математики, проведеного починаючи з 1907 Л. Е. Я. Брауером.
В основі критики Л. Е. Я. Брауера лежить питання про природу математичних об'єктів та суджень про них. Так, природно уявити, що довільне натуральне число може бути побудоване у вигляді послідовного ряду однорідних предметів, наприклад ряду точок. Так само природно уявити, що, побудувавши деяке натуральне число, можна побудувати потім і наступне, додавши до вже побудованого ще одну точку. Тому природа натуральних чисел інтуїтивно ясною. Однак поряд з такими об'єктами в класичній математиці розглядаються і об'єкти з інтуїтивно неясною природою, наприклад, «множина всіх натуральних чисел» та «множина, незмірна за Лебегом». З ними не пов'язується ніякого способу їх уявної побудови, і тому їхнє дійсне існування є сумнівним.
Одним із джерел виникнення такого роду «монстрів» у класичній математиці єтеореми чистого існування, в яких наявність об'єкта, що шукається, стверджується лише на основі формального спростування гіпотези про його неможливість. Інакше кажучи, фундамент таких теорем становить уявлення про абсолютну непогрішність законів класичної логіки.
Ця вистава також стала однією з мішеней критики Брауера. На його думку, закони класичної логіки виникли в результаті розгляду кінцевих сукупностей, при роботі з якими доказ чистого існування свідомо може бути доповнений.ефективним способом побудови об'єкта, що шукається, — повним перебором. При переході до розгляду нескінченних сукупностей ці закони стають недостовірними, оскільки повного перебору таких сукупностей ми вже не можемо провести.
Як найпростіший приклад розглянемо наступну теорему чистого існування:
«для будь-якого речовинного числаxзнайдеться натуральне числоn, що дорівнює 1 у випадкуx= 0 , і дорівнює 2 у випадку »
Аналогічні труднощі виникають при спробах прояснення статусу існування багатьох інших об'єктів класичного аналізу, наприклад, точок екстремуму безперервної функції на відрізку, нулів знакозмінних безперервних функцій на відрізку і т. д. Жодного способу ефективної побудови зазначених об'єктів у нашому розпорядженні немає.
Така критика класичної математики не пов'язана безпосередньо з антиноміями теорії множин. Поява антиномій можна розглядати як додатковий аргумент на користь незадовільності теоретико-множинного підходу, але критика відноситься і до таких розділів математики, де антиномій не виникає.
Інтуїціоністська логіка
Для більш ясної формулювання інтуїціонізму послідовник Л. Е. Я. Брауера А. Гейтінг створив інтуїціоністську логіку.
При побудові інтуїціоністської математики звичайні логічні зв'язки, що використовуються для формулювання математичних суджень, тлумачаться способом, відмінним від класичного. Будь-яке судження вважається осмисленим, якщо воно висловлює можливість деякого розумового побудови, і вважається істинним, тільки якщо досліднику вдалося виконати відповідне побудова. Так, твердження, що починається з квантора існування, означає наявність способу уявної побудови шуканогооб'єкт. Диз'юнкція судженьAіBозначає можливість безпосередньо вказати серед цих суджень вірне. З цієї точки зору, судження виду може і не бути істинним, якщо проблемаAне вирішена на цей час. Звідси видно, що закон виключеного третього неприйнятний в інтуїціоністської математики як логічний принцип.
Співвідношення теоретико-множинної, інтуїціоністської та конструктивної математик з точки зору логічних засобів і абстракцій, що допускаються, може бути охарактеризовано наступною таблицею:
| Закон виключеного третього | Так | Ні | Ні |
| Закон подвійного заперечення | Так | Ні | Ні |
| Принцип Маркова | Так | Ні | Так |
| Абстракція актуальної нескінченності | Так | Частково * | Ні |
| Теза Чорча * | Так | Ні | Так |
1.↑Відмова від абстракції актуальної нескінченності проголошувалась як один із принципів інтуїціонізму, в той же час, згодом було показано, що використання прийнятого в інтуїціонізмі апарату побудов насправді означає залучення абстракції актуальної нескінченності.
2.↑Ефективність в інтуїціонізмі розуміється досить широко, вона не обов'язково пов'язана з наявністю алгоритму в точному розумінні цього терміна і може носити, наприклад, характер історичного настання події, залежати від фактичного вирішення проблем, від фізичних факторів.
Об'єкти дослідження
Об'єктами дослідження інтуїціоністської математики є насамперед конструктивніоб'єкти, такі як натуральні числа, раціональні числа, списки конструктивних об'єктів. Крім того, характерною рисою інтуїціонізму, що відрізняє його від конструктивної математики, є розгляд математичних об'єктів, що вільно становляться, тобто необмежено тривають і не керуються ніяким заздалегідь визначеним законом процесів вибору таких об'єктів. Розгляд послідовностей, що вільно стають, пов'язаний із залученням абстракції актуальної нескінченності (відмова від якої в інтуїціонізмі, таким чином, не є абсолютним).
Вимога інтуїтивної ясності використовуваних понять і конструкцій, що використовуються, призводить до того, що деякі розділи традиційної математики набувають в інтуїціонізмі вельми незвичайний вигляд. Числовий континуум трактується не як сукупність окремих точок, бо як «середовище становлення», потік раціональних інтервалів, що подрібнюються. Кожне окреме інтуїціоністське речове число визначається як послідовність, що вільно стає послідовність необмежено зменшуються вкладених один в одного раціональних інтервалів. У міркуваннях про інтуїціоністський числовий континуум (і взагалі, в інтуїціоністській теорії потоків) застосовується ряд тісно пов'язаних з уявленням про вільне становлення логічних принципів, основним з яких є бар-індукція. Це дозволяє, зокрема, стверджувати, що будь-яка інтуїціоністська речова функція, визначена на відрізку, поступово безперервна.
Рецепція принципів та методів інтуїціонізму в інших напрямках математики
Як і переважна більшість математиків, інтуїціоніст А. Гейтінг разом з іншими послідовниками школи Л. Е. Я. Брауера визнає об'єктивність математичних істин, їх включеність до структури дійсності,але, каже він, опис того, яким саме чином математичні істини включені в реальність, математики дати не в змозі. Таким чином, можна цілком стверджувати наявність реалістичних установок в інтуїціоністському розумінні природи математичного знання в цілому.
Проте дослідження інтуїціоністського обчислення висловлювань і заснованих на ньому формальних теорій становлять і самостійний інтерес. Зокрема, було відкрито топологічна інтерпретація цього обчислення (А. Тарський) та його інтерпретація як обчислення завдань (А. М. Колмогоров). Було доведено незалежність логічних зв'язок і неможливість уявлення інтуїціоністської логіки висловлювань у вигляді кінцевої логіки (К. Гёдель). А. Гейтінг описав інтуїціоністське арифметичне обчислення, яке виходить, якщо класичне арифметичне обчислення розглядати з урахуванням інтуїціоністського обчислення предикатів.
Для обчислення предикатів та арифметичного обчислення Колмогоров і Гьодель запропонували занурювальну операцію класичного обчислення в негативний фрагмент відповідного інтуїціоністського обчислення (що дозволяє, зокрема, зводити питання про несуперечність класичного обчислення до аналогічного питання для відповідного інтуїціоністського). Були встановлені властивості інтуїціоністської диз'юнкції та існування, які полягають у тому, що якщо виводиться пропозиція , то для деякого термуtвиводитьсяA(t) , і якщо виводимо пропозицію , Виводимо одне з пропозиційAіB.
У 1945 році С. К. Кліні запропонував новий варіант інтуїціоністського розуміння арифметичних суджень, заснований на розвиненій в 1930-і роки теорії алгоритмів і здобув популярність під ім'ям рекурсивної реалізованості. Подальшарозробка цього розуміння та пов'язаних з ним ідей у науковій школі А. А. Маркова призвела до виникнення сучасної конструктивної математики.