Інтуїціонізм, Наука, FANDOM powered by Wikia
Інтуїціонізм- система філософських і математичних ідей та методів, пов'язаних з розумінням математики як сукупності «інтуїтивно переконливих» розумових побудов. З погляду інтуїціонізму, основним критерієм істинності математичного судження є інтуїтивна переконливість можливості проведення уявного експерименту, що з цим судженням. Тому в інтуїціоністській математиці відкидається теоретико-множинний підхід до визначення математичних понять, а також деякі способи міркування, прийняті в класичній логіці.
Інтуїціоністська математика є досить розробленим напрямом, який досяг багатьох суттєвих результатів, у тому числі і в таких областях, як теорія міри, функціональний аналіз, топологія, теорія диференціальних рівнянь.
Критика класичної математики
Окремі риси інтуїціонізму можна простежити ще в античній математиці, а пізніше у висловлюваннях таких вчених, як Гаус, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Борель. Однак у своєму сучасному вигляді інтуїціонізм виник як результат критичного перегляду основ класичної математики, проведеного починаючи з 1907 Л. Е. Я. Брауером.
В основі критики Л. Е. Я. Брауера лежить питання про природу математичних об'єктів та суджень про них. Так, природно припустити, що довільне натуральне число то, можливо побудовано як послідовного низки однорідних предметів, напр., низки точок. Так само природно уявити, що, побудувавши деяке натуральне число, можна побудувати потім і наступне, додавши до вже побудованого ще одну точку. Тому природа натуральних чисел інтуїтивно ясною. Однак поряд з такими об'єктами в класичній математиці розглядаються іінтуїтивно неясною природою, наприклад, «множина всіх натуральних чисел» і «множина, незмірна за Лебегом». З ними не пов'язується ніякого способу їх уявної побудови, і тому їхнє дійсне існування є сумнівним.
Одним із джерел виникнення такого роду «монстрів» у класичній математиці є теореми чистого існування, у яких наявність шуканого об'єкта стверджується лише на основі формального спростування гіпотези про його неможливість. Інакше кажучи, фундамент таких теорем становить уявлення про абсолютну непогрішність законів класичної логіки.
Ця вистава також стала однією з мішеней критики Брауера. На його думку, закони класичної логіки виникли в результаті розгляду кінцевих сукупностей, при роботі з якими доказ чистого існування свідомо може бути доповнений ефективним способом побудови об'єкта, що шукається, — повним перебором. При переході до розгляду нескінченних сукупностей ці закони стають недостовірними, оскільки повного перебору таких сукупностей ми вже не можемо провести.
Як найпростіший приклад розглянемо наступну теорему чистого існування:
«для будь-якого речовинного числа $ x $ знайдеться натуральне число $ n $ , що дорівнює $ 1 $ у разі $ x = 0 $, і дорівнює $ 2 $ у разі $ x \ neq 0 $ »
Аналогічні труднощі виникають при спробах прояснення статусу існування багатьох інших об'єктів класичного аналізу, наприклад, точок екстремуму безперервної функції на відрізку, нулів знакозмінних безперервних функцій на відрізку і т. д. Жодного способу ефективної побудови зазначених об'єктів у нашому розпорядженні немає.
Така критика класичної математики не пов'язана безпосередньо зантиноміями теорії множин. Поява антиномій можна розглядати як додатковий аргумент на користь незадовільності теоретико-множинного підходу, але критика відноситься і до таких розділів математики, де антиномій не виникає.
Інтуїціоністська логіка
Для більш ясної формулювання інтуїціонізму послідовник Л. Е. Я. Брауера А. Гейтінг створив інтуїціоністську логіку.
При побудові інтуїціоністської математики звичайні логічні зв'язки, що використовуються для формулювання математичних суджень, тлумачаться способом, відмінним від класичного. Будь-яке судження вважається осмисленим, якщо воно висловлює можливість деякого розумового побудови, і вважається істинним, тільки якщо досліднику вдалося виконати відповідне побудова. Так, твердження, що починається з квантора існування, означає наявність способу уявної побудови об'єкта, що шукається. Диз'юнкція $A\vee B$ суджень $A$ і $B$ означає можливість безпосередньо вказати серед цих суджень вірне. З цієї точки зору, судження виду $ A \ vee \ neg A $ може і не бути істинним, якщо проблема А не вирішена до теперішнього часу. Звідси видно, що закон виключеного третього неприйнятний в інтуїціоністської математики як логічний принцип.
Співвідношення теоретико-множинної, інтуїціоністської та конструктивної математик з точки зору логічних засобів і абстракцій, що допускаються, може бути охарактеризовано наступною таблицею:
| Закон виключеного третього | Так | Ні | Ні |
| Закон подвійного заперечення | Так | Ні | Ні |
| Принцип Маркова | Так | Ні | Так |
| Абстракція актуальної нескінченності | Так | Частково * | Ні |
| Теза Чорча * | Так | Ні | Так |
1.↑Відмова від абстракції актуальної нескінченності проголошувався як один із принципів інтуїціонізму, в той же час, згодом було показано, що використання прийнятого в інтуїціонізмі апарату побудов насправді означає залучення абстракції актуальної нескінченності.
2.↑Ефективність в інтуїціонізмі розуміється досить широко, вона не обов'язково пов'язана з наявністю алгорифму в точному розумінні цього терміна і може носити, наприклад, характер історичного настання події, залежати від фактичного вирішення проблем, від фізичних факторів.
Об'єкти дослідження
Об'єктами дослідження інтуїціоністської математики є конструктивні об'єкти, такі, як натуральні числа, раціональні числа, списки конструктивних об'єктів. Крім того, характерною рисою інтуїціонізму, що відрізняє його від конструктивної математики, є розгляд послідовностей математично-об'єктів (тобто необмежено продовжуються і не керованих ніяким заздалегідь визначеним законом процесів вибору таких об'єктів). Розгляд послідовностей, що вільно стають, пов'язаний із залученням абстракції актуальної нескінченності (відмова від якої в інтуїціонізмі, таким чином, не є абсолютним).
Вимога інтуїтивної ясності використовуваних понять і конструкцій, що використовуються, призводить до того, що деякі розділи традиційної математики набувають в інтуціонізмі вельми незвичайний вигляд. Числовий континуум трактується не яксукупність окремих точок, а як «середовище становлення», потік раціональних інтервалів, що подрібнюються. Кожне окреме інтуїціоністське речове число визначається як послідовність, що вільно стає послідовність необмежено зменшуються вкладених один в одного раціональних інтервалів. У міркуваннях про інтуїціоністський числовий континуум (і взагалі, в інтуїціоністській теорії потоків) застосовується ряд тісно пов'язаних з уявленням про вільне становлення логічних принципів, основним з яких є бар-індукція. Це дозволяє, зокрема, стверджувати, що будь-яка інтуїціоністська речова функція, визначена на відрізку, поступово безперервна.
Рецепція принципів та методів інтуїціонізму в інших напрямках математики
Проте дослідження інтуїціоністського обчислення висловлювань і заснованих на ньому формальних теорій становлять і самостійний інтерес. Зокрема, було відкрито топологічна інтерпретація цього обчислення (А. Тарський) та його інтерпретація як обчислення завдань (А. М. Колмогоров). Було доведено незалежність логічних зв'язок і неможливість уявлення інтуїціоністської логіки висловлювань у вигляді кінцевої логіки (К. Гёдель). А. Гейтінг описав інтуїціоністське арифметичне обчислення, яке виходить, якщо класичне арифметичне обчислення розглядати з урахуванням інтуїціоністського обчислення предикатів.
Для обчислення предикатів та арифметичного обчислення Колмогоров і Гьодель запропонували занурювальну операцію класичного обчислення в негативний фрагмент відповідного інтуїціоністського обчислення (що дозволяє, зокрема, зводити питання про несуперечність класичного обчислення до аналогічного питання для відповідного інтуїціоністського). Були встановлені властивостіінтуїціоністської диз'юнкції та існування, які полягають у тому, що якщо виводимо пропозицію $ \exists xA(x) $ , то для деякого терму $ t $ виводимо $ A(t) $ , і якщо виводимо пропозицію $ A\vee B $ , то виводимо одна з пропозицій $A$ і $B$.
У 1945 році С. К. Кліні запропонував новий варіант інтуїціоністського розуміння арифметичних суджень, заснований на розвиненій в 1930-і роки теорії алгоритмів і здобув популярність під ім'ямрекурсивної реалізованості. Подальша розробка цього розуміння та пов'язаних з ним ідей у науковій школі А. А. Маркова призвела до виникнення сучасної конструктивної математики.