ІРРЕГУЛЯРНЕ ПРОСТОЙ ЧИСЛО

- просте непарне числор,для якого число класів ідеалівкругового поля R(е 2pi/р).ділиться нар.Решта прості непарні числа зв. регулярними.

Ознака Куммера дозволяє для кожного даного простого числа вирішити питання про те, чи буде воно регулярним чи ні: для того, щоб непарне просте число було регулярним, необхідно і достатньо, щоб жоден з числа першихБернуллі чисел В 2, В 4, .. ., в р-3 не ділився на р (див. [1]).

У зв'язку з цим результатом постало питання про розподіл регулярних та іррегулярних чисел. Таблиці бернуллієвих чисел і ознака Куммера показують, що в межах першої сотні тільки три простих числа: 37,59 і 67 - іррегулярні (лічильники В 32, В44.та B58-кратні відповідно 37, 59 та 67). Е. Куммер припустив, що регулярних чисел у середньому вдвічі більше, ніж іррегулярних. Пізніше К. Зігель [2] висунув припущення, що полягало в тому, що відношення числа І. п. ч. до регулярних простих чисел, що містяться в проміжку (1, х),припрагне межіде е- основа натуральних логарифмів. До теперішнього часу (1978) відомо тільки, що число І. п. ч. нескінченно і що серед непарних простих чисел, менших 5500, є 439 регулярних і 285 І. п. ч. [3].

Для будь-якого регулярного керування Ферма

немає ненульових рішень у раціональних числах [1].

Нехайр -деяке І. п. ч., 2a1; . 2aS -індекси бернуллієвих чисел зВ 2, В4, .У р-3,чисельники яких брало діляться нар,а kі t- натуральні числа такі, щоq=1+рk-просте, менше р (р-1) і (mod д).І нехай

то для іррегулярного простого справедлива теорема Ферма, тобто рівняння Ферманерозв'язно у раціональних числах, відмінних від 0. Ця ознака зв. ознакою Вандівера. З допомогою цієї ознаки встановлено справедливість теореми Ферма всім показників, менших 5500 (див. [4]).

Літ. [2] Siegel G.Z.,"Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-Phys. Kl.", 1904, S. 51-57; [3] Боpeвич 3. І., Шафаревич І. Р., Теорія чисел, 2 видавництва, М., 1972; [4] Van diver H. S., "Proc. Nat. Acad.", 1954, V. 40 № 8, p. 732-35.

---