Ізоморфні множини, основні властивості ізоморфізму
Але оскільки основні відносини визначаються кожної множини, з конкретних властивостей його елементів, то, вивчаючи в абстрактної формі властивості основних відносин, дана теорія вивчає, в такий спосіб, деякі конкретні властивості цілого класу конкретних множин. Це діалектичне єдність абстрактного і конкретного властиво будь-якій науці, але в математиці воно проявляється, мабуть, найбільш яскраво. Звісно, математика вивчає в повному обсязі властивості матеріальних тіл, лише ті з цих властивостей, які піддаються кількісної оцінці чи просторовому опису. Основні для всієї математики поняття числа та постаті є абстрактним виразом саме цих властивостей матеріальних тіл. Таким чином, незважаючи на абстрактний характер побудови сучасної математики, для неї залишається в силі визначення, дане Енгельсом:
"Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми та кількісні відносини дійсного світу, отже - дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набуває надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо загасати його походження із зовнішнього світу".
Поняття множин, що мають однакові властивості відносин між їх елементами і тому нерозрізняються в рамках даної математичної теорії, отримує точний вираз у наступному загальному понятті ізоморфізму:
Дві множиниMіM', у кожному з яких визначені відносини елементів, що утворюють деяку систему відносинS, називаютьсяізоморфними(запис ) щодо даної системи відносин (короче просто ізоморфними), якщо між ними існує взаємно однозначна відповідність, що зберігає всі відносини системиS, тобто така, що якщо будь-які елементиMзнаходяться в будь-якому із відносин системиS, товідповідні їм елементи M2 знаходяться в тому ж відношенні, і назад.
Можна сказати, що аксіоматична теорія вивчає безліч лише з точністю до ізоморфізму щодо системи основних відносин цієї теорії.
Поняття ізоморфізму має три основні властивості:
1) ,
2) якщо , то ,
2) якщо і , то .
Наприклад, у разі відсутності будь-яких відносин (у разі, коли система відносинSє порожня множина) визначення ізоморфної множини звертається до визначення еквівалентності (Функція, відображення, потужність), а у випадку одного відношення "aпередуєb" під час виконання відповідних аксіом - у відношенні подібності (Упорядковані множини).