Як вирішувати магічні квадрати
Магічним квадратом прийнято називати головоломку на кшталт судоку. Це квадрат, клітини якого заповнені числами так, щоб сума в кінці будь-якого рядка, стовпця та діагоналі була однаковою. У магічних квадратах-головоломках деякі числа пропущені, і потрібно їх розставити так, щоб дотриматися описаної вище умови рівної суми. Як вирішувати магічні квадрати?
Способи розв'язання магічних квадратів
Для того, щоб рішення магічних квадратів було вірним, необхідно знати ту саму чарівну суму, яка повинна виходити при складанні чисел у рядках, стовпцях та діагоналях. Після цього розставити відсутні цифри стає значно простіше. Як же знайти цю суму?
Найпростіший варіант магічного квадрата - коли один із рядків, один із стовпців або одна з діагоналей повністю заповнена числами. У такому разі залишається лише підрахувати суму цих чисел та підбирати рішення.
Суму чисел на кінцях рядків, стовпців та діагоналей можна вирахувати за спеціальними формулами. При цьому формула для квадратів з парною кількістю осередків в одному рядку буде відрізнятися від квадратів з непарною кількістю осередків.
Отже, для парних квадратів підходить формула:
- n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , де n - кількість осередків в одному рядку.
Для непарних квадратів підходить формула:
- n * (n 2 +1) / 2 де n - також кількість осередків в одному рядку.
Приклад рішення
Розглянемо рішення магічного квадрата з дев'яти осередків із числами від 1 до 9. Спочатку підрахуємо суму, яка має виходити на кінцях. В одному рядку у нас 3 осередки, тобто n = 3. Підставляємо значення у формулу:
- 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 =15
Тепер підбираємо числа так, щоб сума дорівнювала 15.
Далі алгоритм вимагатиме трохи просторової уяви. Поставте число 1 у середину верхнього рядка. Кожне наступне число ми ставимо праворуч по діагоналі вгору. Пробуємо ставити 2. Але там немає осередків, якщо ми підставимо над нашим квадратом ще один такий самий уявний, то число 2 опиниться в правому нижньому куті цього нового квадрата. Переносимо її в наш квадрат і ставимо в нижньому правому кутку. Число 3 також ставимо праворуч по діагоналі вгору - і там знову немає осередку, за допомогою уявного квадрата дізнаємося, що його місце в середині лівого стовпця. Число 4 ставимо за таким же принципом, але цей осередок зайнятий одиницею - у цьому випадку ставимо її прямо під цифрою 3. Число 5 по діагоналі вгору і вправо від 4 виявляється в самому центрі, а число 6 у верхньому правому кутку. Число 7 за допомогою уяви мало опинитися в лівому нижньому кутку. Але там вже стоїть 4, тому ставимо її прямо під числом 6. Число 8 виявляється за допомогою уявного квадрата в лівому верхньому кутку, а число 9 в комірці, що залишилася в середині правого стовпця. Загальний алгоритм такий: ставимо наступне число праворуч вгорі по діагоналі, якщо немає місця - застосовуємо уявний квадрат, а якщо осередок зайнятий, то ставимо число прямо під попереднім.