Картана Підгрупа
Групи G - максимальна нільпотентна підгрупа Св G, кожен нормальний дільник кінцевого індексу до-рой є підгрупою кінцевого індексу у своєму нормалізаторі в G. Якщо G - зв'язкова лінійна алгебраїч. група над полем характеристики 0, то К. п. в G можуть бути визначені і як замкнуті зв'язкові підгрупи, алгебри Чи до-рих є Картана подалгебрами алгебри Лі групи G. Прикладом К. п. може служити підгрупа D всіх діагональних матриць в групі GLn (k ) всіх невироджених матриць. У зв'язковій лінійній алгебраїч. групі GК. п. може бути визначена також як централізатор максимального тора групи Gабо як зв'язкова замкнута нільпотентна підгрупа, що збігається зі зв'язковою компонентою одиниці свого нормалізатора в G. Множини Cs і С u всіх напівпростих і ушшотентних елементів С(див. Жордана розкладання )є замкнуті підгруп З і З = З s З в. При цьому S- єдиний максимальний тор групи G, що лежить в С. Розмірність К. п. групи Gназ. рангом групи G. Об'єднання всіх До. п. групи G містить відкрите в топології Заріського підмножина в G (але, взагалі кажучи, не збігається з G). Кожен-напівпростий елемент в G лежить принаймні в одній К. п., а всякий регулярний елемент - рівно в одній К. п. Якщо j: - сюр'єктивний морфізм лінійних алгебраїч. груп, то До. п. до З — образи До. п. до G щодо j. Будь-які дві К. п. G пов'язані. Нехай група G визначена над полем k, тоді G існує К. п., також визначена над k, більше того, G породжується своїми К. п., визначеними над к. Дві визначені над кК. п. в G можуть бути і не пов'язані над k (але у випадку, коли G можна розв'язати, вони пов'язані). Різноманітність До. п. групи G раціонально над к. До.група Лі з алгеброю Лі д. Тоді К. п. групи G замкнуті в G (але не обов'язково зв'язні) і їх алгебрами Лі є подалгебри Картана алгебри д. Якщо G - аналітич. одгруппа в GLn(R), а найменша містить Gалгебраїч. підгрупа в GLn(R), то До. п. в G є перетинами G з До. п. в У випадку, коли G компактна, До. в G лежить у нек-рой До. п. Літ.: [1] Шевалле До., Теорія груп Лі, пров. з франц., т. 3, М., 1958; [2] Борель А., Лінійні групи алгебри, пров. з англ., М., 1972; [3] Борель А., Тіте Ж., "Математика", 1967, т. 11, Л "1, с. 43-111; № 2, с. 3-31; [4] Demazure M., Grothendieck A." , Schemas en groupes, Seminaire de geometrie algebrique, P., 1964. Ст Л. Попов.