Керованість та спостерігальність
Розглянемо дві фундаментальні властивості систем управління, які мають таке саме велике значення, як і властивість стійкості. Перше з них пов'язане з можливістю переведення системи з будь-якого початкового стану в будь-який інший заданий стан, а друге - з можливістю визначити стан системи за величиною, що управляється, і управляючому впливу.
Визначення керованості. Система (керована система чи об'єкт) із рівнянням стану
(1)
єповністю керованої, якщо існує керуючий сигналf, який переводить систему з нульового початкового станух(0)=0 у моментt0=0в будь-який інший станх(tf)за кінцевий часtf.
Тут точкаМ- точка, що зображає.
Зміна положення зображувальної точки – це перехід системи з одного стану до іншого.
Неважко показати, що якщо система повністю керована, то її при деяких припущеннях можна перевести з будь-якого початкового стану в будь-який інший стан. Цю властивість системи називаютьдосяжністю.
Керованість – окремий випадок досяжності.
На малюнку вище дана геометрична інтерпретація властивостей керованості та досяжності.
Теорема Калмана. (Про повну керованість).
Для повної керованості системи, що описується рівнянням (1), необхідно і достатньо, щоб матриця керованості (блочна матриця)
(2)
мала ранг, що дорівнюєn, деn– порядок системи:. МатрицяUмає розмірність ( ), оскільки кожен блок має розмірність , а всьогоnблоків ( стовпців).
Якщо існує хоча б один мінорn-го порядку матриціU, то . Мінорn-го порядку - визначник матриціU, складений зnдовільних стовпців матриціU.
Для системи із одним входом, тобто. якщо , тоU- квадратна матриця і має єдиний мінорn-го порядку, який збігається з визначником матриці. У цьому умова повної керованості дляr=1:
,
тобто матриця керованості має бути невиродженою.
Приклад.Для подвійного інтегратора
,
деk- коефіцієнт посилення подвійного інтегратора.
Чи є лідвійний інтегратор повністю керованим, і за яких умов?
В даному випадкуn=2,. Отже, відповідно до (2) матриця керованості подвійного інтегратора
,
.,
Отже, якщо . Це і є умова повної керованості подвійного інтегратора.
Команди Matlab:U=ctrb(A,B); r=rank(U).
Примітка 1. Фізичний зміст якості повної керованості у тому, що управління впливає кожну зі змінних стану , . При цьому можна змінювати положення зображувальної точки довільно за допомогою відповідного керування.
Примітка 2. Чи є система, що повністю керується, можна визначити за допомогою операційної структурної схеми. Якщо на операційній структурній схемі є шляхи, що ведуть від управління до кожної змінної стану, то система є повністю керованою.
Приклад. Розглянемо операційну структурну схему системи, подану малюнку нижче. Тут ,n=2.
Як бачимо, управлінняuвпливатиме лише на зміннух1. Ліва частина структурної схеми поводиться автономно від управління u . Отже, система не повністю керована. Якщо система не є повністю керованою, то її можна розкласти на керовану та некеровану частини (підсистеми).
Аналітично покажемо, що система, що розглядається, не є повністю керованою. Для цього за структурною схемою знайдемо рівняння у змінних станах
з яких видно, що керуванняuне впливає нах2 .
, .
Звідси матриця керованості
.
Як бачимо, тобто система не задовольняє умові повної керованості.
Зауваження 3. Якщо система з одним входом, іншими словами, приr=1, не є повністю керованою, то її ПФ вироджується, іншими словами, її ПФ є виродженою ПФ, тобто порядок знаменника ПФ буде меншим за порядок системи (порядку характеристичного рівняння системи).
Звідси система з одним входом є повністю керованою, якщо її передавальна функція не містить однакових співмножників у чисельнику та знаменнику (скорочуваних співмножників).
Наприклад, розглянутого у зауваженні 2:
, ,l=1.
При цьому ПФ системи
,
де характеристичний багаточлен
.
Отже, коріння характеристичного рівняння = 0, тобто, полюси системи рівні: .
Знайдемо чисельник , що є скалярним багаточленом
.
.
Порядок системиn=2,а порядок знаменника ПФ дорівнює 1, тобто передатна функція системи вироджена. Ця система стійка за початковими умовами, якщо (лівікоріння). Якщо , (є правий корінь), то система стійка по входу і нестійка за початковими умовами.Іншими словами, компенсація правих (немінімофазових) нулів системи за рахунок полюсів послідовно включеної ще однієї системи робить послідовне з'єднання не стабілізується.
Модель у вигляді ПФ може бути лише частковим описом системи.
Примітка 4. Система, що описується рівнянням (1), називаєтьсястабілізується, якщо некерована частина є стійкою за початковими умовами. Для розглянутого у зауваженні 2 прикладу умова стабілізації системи: .
Властивість стабілізації дозволяє за рахунок зворотного зв'язку забезпечити стійкість замкнутої системи навіть тоді, коли об'єкт управління містить некеровану частину. Включення некерованої частини модель системи досить загальний випадок. Це зручно для опису різних впливів, що обурюють. Наприклад, постійний вплив, що обурює, можна задати в просторі станів як .
Примітка 5. Ранг матриці керованості залежить від вибору вектора стану. Інакше кажучи, ранг матриці керованості є інваріантом, тобто.
,
=TU
являє собою матрицю керованості перетвореної системи, що описується
.