Клас сполученості

Клас супроводу— безліч елементів групи G , утворена з елементів, сполучених заданим g \in G , тобто всіх елементів виду hgh^ , де h — довільний елемент групи G .

Клас спряженості елемента g \in G може позначатися [g] або \mathrm(g).

Зміст

Визначення

Елементи g_1 і g_2 групи G називаютьсяпов'язаними, якщо існує елемент h \in G , для якого hg_1h^ = g_2 . Сполученість є відношенням еквівалентності, а тому розбиває G на класи еквівалентності, це, зокрема, означає, що кожен елемент групи належить точно одному класу сполученості, і класи [g_1] і [g_2] збігаються тоді і тільки тоді, коли g_1 і g_2 пов'язані, і не перетинаються інакше.

  • Класи сполученості можуть бути визначені як орбіти дії групи на собі сполученнями, заданими формулою (g, m) = gmg^ [1] .
  • Симетрична група S_3 , що складається з усіх шести перестановок трьох елементів, має три класи сполученості:
  • порядок не змінюється ( abc \to abc , «1A»),
  • перестановка двох елементів ( abc \to acb , abc \to bac , abc \to cba , «3A»),
  • циклічна перестановка всіх трьох елементів ( abc \ bca , abc \ to cab , «2A»).
  • Симетрична група S_4 , що складається з усіх 24 перестановок чотирьох елементів, має п'ять класів сполученості:
  • порядок не змінюється (1 перестановка): \< \> , "1A" або "(1)4";
  • перестановка двох елементів (6 перестановок): \< \, \, \, \, \, \ \> , "6A" або "(2)";
  • циклічна перестановка трьох елементів (8 перестановок): \< \, \, \, \, \, \, \, \ \> , "8A" або "(3)";
  • циклічна перестановка всіх чотирьох елементів (6перестановок): \< \, \, \, \, \, \ \> , "6B" або "(4)";
  • перестановка попарна (3 перестановки): \< \, \, \ \> , "3A" або "(2)(2)".
  • У загальному випадку число класів спряженості в симетричній групі S_n дорівнює кількості розбиття числа n, тому що кожен клас сполученості відповідає в точності одному розбиття перестановки \ на цикли [en].
  • Нейтральний елемент завжди утворює свій власний клас [e] = \
  • Якщо G - абелева, то \forall \ ghg ^ = h, таким чином [g] = \ < g \>для всіх елементів групи.
  • Якщо два елементи g_1 і g_1 групи G належать одному й тому класу спряженості, всі вони мають однаковий порядок.
  • Більше загально: будь-яке теоретико-групове твердження \pi(g) про елемент g \in G еквівалентно твердженню для елемента h \in [g] , оскільки сполучення x \to xgx^ є автоморфізмом групи g \in G .
  • Елемент g \in G лежить у центрі Z(G) тоді і лише тоді, коли його клас сполученості складається з єдиного елемента: [g] = \ .
  • Більше загально: індекс підгрупи Z_G(g) (централізатора заданого елемента g ) дорівнює числу елементів у класі спряженості [g] (за теоремою про стабілізацію орбіт [en] ).
  • Якщо g_1 і g_2 пов'язані, то пов'язані та його ступеня g_1^k і g_2^k .
    • Для будь-якого елемента групи g \in G елементи в класі сполученості [g] взаємно-однозначно відповідають класам суміжностіцентралізатора Z_G(g) , дійсно, якщо h_1 \in [h_2] , то h_1 = h_2z для деякого z \in Z_G(g) , що призводить до того ж сполученому елементу: h_1gh_1^ = h_2zg(h_2z)^ = h_2zgz^h_2^ = h_2zz^gh_2^ = h_2gh_2^ . Зокрема:
    • Якщо G — кінцева група, число елементів у класі спряженості [g] є індексомцентралізатора [G: Z_G(g)] .
    • Порядок кожного класу спряженості є дільником порядку групи.
  • Порядок групи є сумою індексів централізаторів за вибраним представником g_i з кожного класу сполученості: G = \Sigma [G: Z_G(g_i)]. З урахуванням того, що централізатор групи Z(G) утворює клас сполученості з єдиного елемента (самого себе), це співвідношення, що називаєтьсярівнянням класів сполученості[2] , записується наступним чином: G = Z(G) + \Sigma [G: Z_G(g_i)],
    • де сума береться за всіма представниками кожного класу спряженості, які не належать центру.
    • Наприклад, нехай задана кінцева p-група G (тобто група з порядком p ^ n, де p - просте число і n 0). Оскільки порядок будь-якого класу сполученості повинен ділити порядок групи, кожен клас сполученості H_i також має порядок, що дорівнює деякою мірою p^ ( 0 ), і тоді з рівняння касів сполученості випливає, що:
    G = p^n = Z(G) + \Sigma p^ , звідси, своєю чергою, слід, що число p має ділити Z(G) , отже Z(G) > 1 для всіх кінцевих p-груп, тобто рівняння класів спряженості дозволяє встановити, що будь-яка кінцева p-група має нетривіальний центр.
    • Класи сполученості в фундаментальній групі лінійно зв'язного топологічного простору можна розглядати як класи еквівалентності вільних петель при вільної гомотопії.

    Варіації та узагальнення

    Для довільного підмножини (не обов'язково підгрупи) S \subseteq G підмножина T \subseteq G називаєтьсяпов'язанимдо S, якщо існує деякий елемент g \in G, такий, що T = gSg^. У цьому випадку клас спряженості [S] — безліч усіх підмножин T \subseteq G , таких, що кожне T єсполученим S .

    Широко застосовується теорема, згідно з якою для будь-якого заданого підмножини S групи G індекс множини його нормалізатора N(S) дорівнює порядку її класу сполученості [S] :

    Це випливає з того, що для g, h \in G має місце: gSg^ = hSh^ тоді і тільки тоді, коли g^h \in N(S) , тобто g і h міститься в тому самому класі класі суміжності нормалізатора N(S).

    Підгрупи можна розділити на класи сполученості так, що дві родгрупи належать одному класу в тому і тільки в тому випадку, коли вони пов'язані. Сполучені підгрупи ізоморфні, але ізоморфні підгрупи необов'язково мають бути сполученими. Наприклад, абелева група може містити дві різні ізоморфні підгрупи, але вони ніколи не будуть сполученими.

    Напишіть відгук про статтю "Клас супроводу"

    Примітки

    1. ↑Grillet, 2007, p. 56.
    2. ↑Grillet, 2007, p. 57.

    Література

    • Pierre Antoine Grillet.Abstract algebra. - 2. - Springer, 2007. - Т. 242. - (Graduate texts in mathematics). - ISBN 978-0-387-71567-4.

    : неправильне або відсутнє зображення

    Для покращення цієї статті бажано? :
    • Перевірити якість перекладу іноземної мови.
    • Виправити статтю згідно з стилістичними правилами Вікіпедії.

    Уривок, що характеризує Клас сполученості

    Даву звів очі й пильно глянув на П'єра. Декілька секунд вони дивилися один на одного, і цей погляд врятував П'єра. У цьому погляді, окрім усіх умов війни та суду, між цими двома людьми встановилися людські стосунки. Обидва вони цієї хвилини невиразно перечили незліченну кількість речей і зрозуміли, що вони обидва діти людства, що вони брати. У першому погляді дляДаву, що підняв тільки голову від свого списку, де людські справи та життя називалися нумерами, П'єр був лише обставина; і, не взявши на совість поганого вчинку, Даву застрелив би його; але тепер він бачив у ньому людину. Він замислився на мить. – Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Чим ви доведете мені справедливість ваших слів?] – сказав Даву холодно. П'єр згадав Рамбаля і назвав його полк, і прізвище, і вулицю, де був будинок. — Ви не те, що ви кажете,— знову сказав Даву. П'єр тремтячим, переривчастим голосом став наводити докази справедливості свого свідчення. 15 Але в цей час увійшов ад'ютант і щось доповів Даву. Даву раптом засяяв при повідомленні, повідомленому ад'ютантом, і став застібатися. Він, мабуть, зовсім забув про П'єра. Коли ад'ютант нагадав йому про полоненого, він, насупившись, кивнув у бік П'єра і сказав, щоб його вели. Але куди мали його вести – П'єр не знав: назад у балаган чи на приготовлене місце страти, яке, проходячи Дівочим полем, йому показували товариші. Він обернув голову і бачив, що ад'ютант перепитував щось. - Oui, sans doute! [Так, зрозуміло!] – сказав Даву, але що так, П'єр не знав. П'єр не пам'ятав, як довго він ішов і куди. Він, у стані досконалого безглуздя і отуплення, нічого не бачачи навколо себе, пересував ногами разом з іншими, поки всі зупинилися, і він зупинився. Одна думка за цей час була в голові П'єра. Це була думка про те: хто, хто ж нарешті засудив його до страти. Це були не ті люди, які допитували його в комісії: з них жоден не хотів і, мабуть, не міг цього зробити. То був не Даву, який так людсько подивився на нього. Ще б одна хвилина, іДаву зрозумів би, що вони роблять погано, але цієї хвилини завадив ад'ютант, який увійшов. І ад'ютант цей, очевидно, не хотів нічого поганого, але міг би не увійти. Хто ж це, нарешті, стратив, убивав, позбавляв життя його - П'єра з усіма його спогадами, прагненнями, надіями, думками? Хто це робив? І П'єр відчував, що то був ніхто. Це був порядок, склад обставин. Порядок якийсь вбивав його - П'єра, позбавляв його життя, всього знищував його.

    Від будинку князя Щербатова полонених повели прямо вниз по Дівочому полю, ліворуч за Дівочий монастир і підвели до городу, на якому стояв стовп. За стовпом була вирита велика яма зі свіжовикопаною землею, і біля ями та стовпа півколом стояв великий натовп народу. Натовп складався з малої кількості українських та великої кількості наполеонівських військ поза ладом: німців, італійців та французів у різнорідних мундирах. Праворуч і ліворуч стовпа стояли фронти французьких військ у синіх мундирах із червоними еполетами, у штиблетах та ківерах. Злочинців розставили за відомим порядком, який був у списку (П'єр стояв шостим), і підвели до стовпа. Декілька барабанів раптом ударили з двох боків, і П'єр відчув, що з цим звуком ніби відірвалася частина його душі. Він втратив здатність думати і думати. Він тільки міг бачити та чути. І лише одне бажання було в нього – бажання, щоб скоріше стало щось страшне, що мало бути зроблено. П'єр озирнувся на своїх товаришів і розглядав їх. Дві людини з краю були голені обережні. Один високий, худий; інший чорний, волохатий, м'язистий, з плескатим носом. Третій був дворовий, років сорока п'яти, з сивілим волоссям і повним, добре відгодованим тілом. Четвертий був мужик, дуже гарний, з окладистою русявою бородою та чорними очима. П'ятий бувфабричний, жовтий, худий малий, років вісімнадцяти, у халаті. П'єр чув, що французи радилися, як стріляти - по одному чи по два? "По два", - холодно спокійно відповів старший офіцер. Зробилося пересування в рядах солдатів, і помітно було, що всі поспішали, - і поспішали не так, як поспішають, щоб зробити зрозумілу для всіх справу, але так, як поспішають, щоб закінчити необхідну, але неприємну і незбагненну справу. Чиновник француз у шарфі підійшов до правого боку шеренги злочинців прочитав українською та французькою вирок. 15 Потім дві пари французів підійшли до злочинців і взяли, за вказівкою офіцера, двох обережних, що стояли з краю. Обережні, підійшовши до стовпа, зупинилися і, поки принесли мішки, мовчки дивилися довкола себе, як дивиться підбитий звір на відповідного мисливця. Один усе хрестився, другий чухав спину і робив губами рух, подібний до посмішки. Солдати, поспішаючи руками, стали зав'язувати їм очі, надягати мішки та прив'язувати до стовпа. Дванадцять чоловік стрільців з рушницями мірним, твердим кроком вийшли з зарядів і зупинилися за вісім кроків від стовпа. П'єр відвернувся, щоб не бачити того, що буде. Раптом почувся тріск і гуркіт, що здалися П'єру гучнішими за найстрашніші удари грому, і він озирнувся. Був дим, і французи з блідими обличчями та тремтячими руками щось робили біля ями. Повели інших двох. Так само, такими ж очима і ці двоє дивилися на всіх, марно, одними очима, мовчки, просячи захисту і, мабуть, не розуміючи і не вірячи тому, що буде. Вони не могли вірити, бо вони одні знали, що таке було для них їхнє життя, і тому не розуміли і не вірили, щоб можна було забрати його. П'єр хотів не дивитись і знову відвернувся; але знову ніби жахливий вибух вразив його слух, і разом із цими звуками він побачив дим, чиє токров і бліді злякані обличчя французів, що знову робили біля стовпа, тремтячими руками штовхаючи один одного. П'єр, важко дихаючи, озирнувся довкола себе, ніби питаючи: що це таке? Те саме питання було й у всіх поглядах, які зустрічалися з поглядом П'єра. На всіх обличчях українських, на обличчях французьких солдатів, офіцерів, усіх без винятку, він читав такий самий переляк, жах і боротьбу, які були в його серці. «Та хто ж це робить нарешті? Вони всі страждають так само, як і я. Хто ж? Хто ж?" – на мить блиснуло в душі П'єра. - Tirailleurs du 86 me, en avant! [Стрілки 86 го, вперед!] – прокричав хтось. Повели п'ятого, що стояв поруч із П'єром, – одного. П'єр не зрозумів, що він врятований, що він і всі інші були приведені сюди тільки для присутності під час страти. Він з зростаючим жахом, не відчуваючи ні радості, ні заспокоєння, дивився на те, що робилося. П'ятий був фабричний у халаті. Щойно до нього доторкнулися, як він з жахом відскочив і схопився за П'єра (П'єр здригнувся і відірвався від нього). Фабричний не міг іти. Його тягли під пахви, і він щось кричав. Коли його підвели до стовпа, він раптом замовк. Він ніби раптом щось зрозумів. Чи то він зрозумів, що даремно кричати, чи те, що неможливо, щоб його вбили люди, але він став біля стовпа, чекаючи пов'язки разом з іншими і, як підстрелений звір, озираючись навколо себе блискучими очима.