Кола Ейлера приклади та можливості
Математика за своєю суттю абстрактна наука, якщо відійти від елементарних понять. Так, на парі-трійці яблук можна наочно зобразити основні операції, що лежать в основі математики, але, як площина діяльності розширюється, цих об'єктів стає недостатньо. Хтось намагався зобразити на яблуках операції над нескінченними множинами? У тому й річ, що ні. Чим складніше ставали поняття, якими оперує математика у своїх судженнях, тим проблематичніше здавалося їхнє наочне вираження, яке було б полегшити розуміння. Однак, на щастя як сучасних студентів, так і науки в цілому, було виведено кола Ейлера, приклади та можливості яких ми розглянемо нижче.
Трохи історії
У чому суть?
Насправді кола Ейлера, схема яких зображено нижче, можуть застосовуватися у математиці, оскільки поняття " безлічі " властиві як даної дисципліні. Так, вони успішно застосовуються й у менеджменті.
Схема вище показує відносини множин А (ірраціональні числа), В (раціональні числа) та С (натуральні числа). Кола показують, що безліч С включено до безлічі, тоді як безліч А з ними ніяк не перетинається. Приклад найпростіший, але наочно пояснює специфіку "взаємин множин", які надто абстрактні для реального порівняння хоча б через їхню нескінченність.
Алгебра логіки
Ця область математичної логіки оперує висловлюваннями, які можуть мати як істинний, і помилковий характер. Наприклад, елементарного: число 625 ділиться націло на 25, число 625 ділиться націло на 5, число 625 є простим. Перше і друге твердження – істина, тоді як останнє – брехня. Звичайно, на практицівсе складніше, але суть показана ясно. І, звичайно ж, у рішенні знову беруть участь кола Ейлера, приклади з їх використанням надто зручні та наочні, щоб їх ігнорувати.
- Нехай множини А і В існують і не є порожніми, тоді для них визначені наступні операції перетину, об'єднання та заперечення.
- Перетин множин А і В складається з елементів, що належать одночасно як множині А, так і множині В.
- Об'єднання множин А і В складається з елементів, що належать множині А або множині В.
- Заперечення множини А - це множина, що складається з елементів, які не належать множині А.
Все це зображують знову ж таки кола Ейлера в логіці, тому що з їх допомогою кожне завдання, незалежно від ступеня складності, стає очевидним і наочним.
Аксіоми алгебри логіки
Припустимо, що 1 і 0 існують і визначені в множині А, тоді:
- заперечення заперечення множини А є множина А;
- об'єднання множини А з не_А є 1;
- об'єднання множини А з 1 є 1;
- поєднання множини А з самим собою є множина А;
- об'єднання множини А з 0 є множина А;
- перетин безлічі А з не_А є 0;
- перетин безлічі А з собою є безліч А;
- перетин безлічі А з 0 є 0;
- перетин безлічі А з 1 є безліч А.
Основні властивості логіки алгебри
Нехай безліч А і В існують і не є порожніми, тоді:
- для перетину та об'єднання множин А і В діє переміщувальний закон;
- для перетину та об'єднання множин А і В діє поєднаний закон;
- для перетину та об'єднання множин А ідіє розподільчий закон;
- заперечення перетину множин А і В є перетин заперечень множин А і В;
- заперечення об'єднання множин А та В є об'єднання заперечень множин А та В.
Нижче показані кола Ейлера, приклади перетину та об'єднання множин А, В та С.
Перспективи
Роботи Леонарда Ейлера обґрунтовано вважаються базою сучасної математики, проте зараз їх успішно застосовують у галузях людської діяльності, що з'явилися відносно недавно, взяти хоча б корпоративне управління: кола Ейлера, приклади та графіки описують механізми моделей розвитку, чи то українська чи англо-американська версія .