КОНЦЕНТРАЦІЇ ФУНКЦІЯ
випадкової величиниX -функція Q(l, X),визначена для всіх невід'ємних lі випадкової величини Xспіввідношенням
К. ф. Q(l, X)є невід'ємною, напівадитивною, монотонно незнищувальною функцією приl>0,безперервною праворуч і такою, що
Назад, будь-яка функція, що володіє цими властивостями, може розглядатися як К. ф. деякий випадкової величини.
К. ф. є зручною характеристикою розкиду значень випадкової величини, особливо кількісного вираження факту збільшення розоросу при підсумовуванні незалежних випадкових величин. Перша абсолютна, тобто містить лише абсолютні константи, оцінка для концентрації суми при заданих концентраціях доданків була отримана А. Н. Колмогоровим [4] методом, що розвиває метод П. Леві [2]. Надалі цей результат було посилено (див. [5]); було отримано формулювання, що включає як окремі випадки всі раніше знайдені результати:
де
Х 1,.Х n-сукупність незалежних випадкових величин, ,i=l, 2, . . .,п, і С- абсолютна стала. Виділено два типи оцінок: оцінки Q(l, S) локального типу (див. [6]); оцінки Q(l, S) інтегрального типу (див. [7]).
Подвійною характеристикою розкиду, тісно пов'язаної з До. ф. є функція розсіювання випадкової величини X:
при має місце (див.[8])наступне нерівне-
ство, що зв'язує До. ф. і характеристич. функцію f(t)випадкової величини X:
а також нерівності
деХ 1іХ 2- незалежні випадкові величини. Є спроби перенести деякі результати, що стосуються До. ф. на випадок підсумовування незалежних випадкових векторів (див. [9]).
Літ.: [1] Dоеblin W., Levy P., "C. r. Acad. sci.", 1936, t.202, p. 2027-29; [2] Levy P., Theorie de l'addition des variables alfiatoire, 2 ed., P., 1954; [3] Dоeb1in W., "Bull. sci. Math.", 1939, t. 63, p. 23-64; [4] Ко1могоров A., "Ann. de l'lnst. H. Poincare", 1958, t. 16, p. 27-34; [5] Pогозін Б. А., "Теорія віроят. та її застосун.", 1961, т. 6, ст. 1 с. 103-108; [6] Кеsten H., "Math. Scand.", 1969, v. 25 p. 133 – 44; [7] Рогозін Би. А., "Докл. АН СРСР", 1973, т. 211, с. 1067 – 70; [8] Петров Ст Ст, Суми незалежних випадкових величин, М., 1972; [9] Еsseen С. G., "Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.", 1968, Bd 9, S. 290-308.