Континуум-гіпотеза
Континуум-гіпотеза(проблема континууму,перша проблема Гільберта) — висунуте в 1877 році Георгом Кантором припущення про те, що будь-яке нескінченне підмножина континууму є або лічильним, або континуальним. Інакше кажучи, гіпотеза передбачає, що потужність континууму — найменша, переважає потужність лічильного множини, і «проміжних» потужностей між рахунковим множиною і континуумом немає, зокрема, це припущення означає, що з будь-якого нескінченного безлічі дійсних чисел завжди можна встановити взаємно-одно або між елементами цієї множини і безліччю цілих чисел, або між елементами цієї множини і безліччю всіх дійсних чисел.
| Континуум-гіпотеза |
| континуум |
| Георг Кантор |
| 1877 |
| ℵ 0 S 2 ℵ 0 |
| Курт Гедель і Пол Коен |
Перші спроби доказу цього затвердження засобами наївної теорії множин не мали успіху, надалі показано неможливість довести чи спростувати гіпотезу в аксіоматиці Цермело — Френкеля (як з аксіомою вибору, так і без неї).
Континуум-гіпотеза однозначно доводиться у системі Цермело - Френкеля з аксіомою детермінованості (ZF+AD).
Зміст
Континуум-гіпотеза стала першою із двадцяти трьох математичних проблем, про які Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також якперша проблема Гільберта.
У 1940 році Гедель довів, що заперечення континуум-гіпотезинедоведено в ZFC - системі аксіом Цермело - Френкеля з аксіомою вибору, а в 1963 Коен за допомогою розробленого ним методу форсингу (англ.) довів, що континуум-гіпотеза також недоказна в ZFC [1] . Обидва ці результати спираються на припущення про несуперечність ZFC, причому воно є необхідним, тому що в суперечливій теорії будь-яке твердження є доведеним. Таким чином, континуум-гіпотеза є незалежною від ZFC.
Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:
Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело - Френкеля, і, як показали Серпінський в 1947 і Шпеккер в 1952, з неї випливає аксіома вибору.