Критерії стійкості Рауса-Гурвіца та Михайлова - MathHelpPlanet
Обговорення та вирішення завдань з математики, фізики, хімії, економіки
Часовий пояс: UTC + 3 години [ Літній час ]
Введення в аналіз
Теорія черг (СМО)
Критерії стійкості Рауса-Гурвіца і Михайлова (геометричний критерій стійкості)
Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння з постійними речовими коефіцієнтами:
Нульове рішення [math]y\equiv0[/math] рівняння (1) асимптотично стійко, якщо всі корені характеристичного рівняння
мають негативні речові частини.
Критерій Рауса-Гурвіца. Для того щоб усі корені рівняння (2) мали негативні речові частини, необхідно і достатньо, щоб були позитивними всі головні діагональні мінори матриці Гурвіца
Матриця Гурвіца складається так. По головній діагоналі виписуються коефіцієнти многочлена (2), починаючи з [math]a_1[/math] і закінчуючи [math]a_n[/math]. Стовпці складаються по черзі з коефіцієнтів тільки з непарними або лише з парними індексами, причому до останніх включається коефіцієнт [math]a_0[/math] . Всі інші елементи матриці, що відповідають коефіцієнтам з індексами, більшими [math]n[/math] або меншими [math]0[/math], вважаються рівними нулю. Головні діагональні мінори матриці Гурвіца мають вигляд
Таким чином, умова Гурвіца свідчить: для стійкості розв'язання [math]y\equiv0[/math] рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення
Оскільки [math]\Delta_n=a_n\Delta_[/math] , то умова 0">[math]\Delta_n>0[/math] може бути замінена вимогою 0">[math]a_n>0[/math ].
Приклад 1. Дослідити на стійкість нульове рішення рівняння
Рішення. Складаємо характеристичне рівняння
a_4=10[/math] . Виписуємо діагональні мінори Гурвіца
\Delta_4>0[/math] . Отже, тривіальне рішення [math] y \ equiv0 [/ math] рівняння (5) асимптотично стійко.
Обчислення можна, наприклад, організувати так. Складаємо спочатку старший мінор Гурвіца [math] \ Delta_n [/ math]. По ньому легко виписуються всі молодші мінори [math] \ Delta_, \ ldots, \ Delta_1 [/ math] . Потім починаємо обчислювати послідовно [math] \ Delta_1, \, \ Delta_2 [/math] і т.д. Якщо зустрівся негативний мінор, рішення нестійке та подальший підрахунок не потрібен.
Геометричний критерій стійкості (критерій Михайлова)
Розглянемо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку з постійними речовими коефіцієнтами
Його характеристичне рівняння
Критерій Михайлова дозволяє вирішити питання розташування коренів характеристичного рівняння (2) на комплексної площині і, отже, вирішити питання стійкості нульового рішення рівняння (1). Вважаючи [math]\lambda=i\omega[/math] , отримуємо
Величину [math]f(i\omega)[/math] при заданому значенні параметра [math]\omega[/math] можна зобразити у вигляді вектора на комплексній площині [math]Ouv[/math] з початком координат.
При зміні [math]\omega[/math] в інтервалі [math](-\infty,+\infty)[/math] кінець цього вектора опише деяку криву - так звану криву Михайлова (рис. 45). Оскільки функція [math]u(\omega)[/math] парна, то крива Михайлова симетрична щодо осі [math]Ou[/math] і тому досить будувати частину кривої, що відповідає зміні параметра [math]\omega[/math] від [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] .
Якщо багаточлен [math]f(\lambda)[/math] ступеня [math]n[/math] має [math]m[/math] коріння з позитивною речовинною частиною і[math]n-m[/math] коріння з негативною, то кут [math]\varphi[/math] повороту вектора [math]f(i\omega)[/math] при зміні [math]\omega[/math] від [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] дорівнює [math]\varphi=(n-2m)\frac[/math] .
Зрозуміло, що з стійкості рішення рівняння (1) необхідно достатньо, щоб [math]m=0[/math] .
Критерій Михайлова. Для стійкості нульового [math]y\equiv0[/math] рішення рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб
1) вектор [math]f(i\omega)[/math] при зміні [math]\omega[/math] від [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] здійснив поворот на кут [math] \ varphi = n \ frac [/ math], тобто. зробив [math]\frac[/math] оборотів проти годинникової стрілки;
2) годограф [math]f(i\omega)[/math] при зміні [math]\omega[/math] від [math]0[/math] до [math]+\infty[/math] не проходив через початок [math] (0; 0) [/ math].
Звідси випливає, що для стійкості рішення рівняння (1) необхідно, щоб усі корені рівнянь [math]u(\omega)=0,[/math] [math]v(\omega)=0[/math] були речовими і перемежуються друг з одним, тобто. між будь-яким двом корінням одного рівняння повинен знаходитися корінь іншого рівняння.
Приклад 1. Дослідити на стійкість нульове рішення [math]y\equiv0[/math] рівняння
Рішення. Складаємо характеристичний багаточлен
Побудуємо криву (рис.46) [math] \ beginu = u (\ omega), \ v = v (\ omega), \ end0 \ leqslant \ omega
Кут повороту радіуса-вектора [math] varphi = 4 frac = (n-2m) frac [/math] . Звідси [math]n-2m=4[/math] і оскільки [math]n=4[/math] , то [math]m=0[/math] , тобто. все коріння характеристичного рівняння лежить у лівій напівплощині. Отже, тривіальне рішення [math] y \ equiv0 [/ math] асимптотично стійко.