Кубічне рівняння
Кубічна рівняння- алгебраїчне рівняння третього ступеня, загальний вигляд якого наступний:
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0, a ≠ 0. +bx^+cx+d=0,\;a\neq 0.
Для графічного аналізу кубічного рівняння в системі декартової координат використовується кубічна парабола.
Кубічне рівняння загального виду може бути наведено до канонічного виду шляхом поділу на a та заміни змінної x = y − b 3 a , >,> що приводить рівняння до виду:
y 3 + p y + q = 0 +py + q = 0, gt;
q = 2 b 3 27 a 3 − b c 3 a 2 + d a = 2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d 27 a 3 , >>>->>+>=-9abc+27a ^d>>>,> p = c a − b 2 3 a 2 = 3 a c − b 2 3 a 2 . >->>>=>>>.>
Зміст
Кубічні рівняння були відомі ще в стародавньому Вавилоні, стародавнім грекам, китайцям, індійцям та єгиптянам [1] [2] [3] . Були знайдені клинописні таблички Старовавилонського періоду (20-16 століття до нашої ери), що містять таблиці обчислення кубів та кубічних коренів [4] [5] . Вавилонці могли використовувати ці таблиці для вирішення кубічних рівнянь, але не існує жодних свідчень, що вони це робили [6] .
Завдання подвоєння куба використовує найпростіше і найстаріше з кубічних рівнянь, і давні єгиптяни не вірили, що його рішення існує [7] . У п'ятому столітті до нашої ери Гіппократ звів це завдання до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та іншим, вдвічі більшим за нього, але не зміг вирішити її за допомогою циркуля та лінійки [8] , що, як тепер відомо, неможливо зробити.
У VII столітті за часів династії Тан астроном і математик Ван Сяотун у своєму математичному трактаті, під назвоюЦзигу Суаньцзін,виклав і вирішив 25 кубічних рівнянь виду x 3 +p x 2 + q x = N + px^+qx=N> , у 23 з яких p , q ≠ 0 і в двох рівняннях q = 0 [11] .
У XI столітті перський поет і математик Омар Хайям (1048-1131) зробив суттєвий прогрес у теорії кубічних рівнянь. У ранніх роботах, присвячених кубічним рівнянням, він виявив, що кубічне рівняння може мати більше одного рішення, і стверджував, що рівняння не може бути вирішене за допомогою циркуля та лінійки. Він також знайшов геометричне рішення [12] [13] . У його пізнішій праці,Трактат про демонстрацію задач алгебри, він описав повну класифікацію кубічних рівнянь зі своїми загальними геометричними рішеннями, використовують перетину конічних перерізів [14] [15] .
У дванадцятому столітті індійський математик Бхаскара ІІ намагався вирішувати кубічні рівняння без особливих успіхів. Однак він навів один приклад розв'язання кубічного рівняння [16] :
У тому ж столітті інший, перський, математик, Шараф ад-Дін (1135-1213), написавAl-Mu'adalat(Трактат про рівняння), в якому йдеться про вісім типів кубічних рівнянь з позитивними рішеннями та про п'ять типів, що не мають позитивних рішень. Він використав підхід, який пізніше став відомим як метод «Руффіні — Горнера» для чисельної апроксимації кореня кубічного рівняння. Він також розробив концепцію похідної функції та екстремумів кривої для розв'язання кубічних рівнянь, які можуть не мати позитивних значень [17] . Він зрозумів важливість дискримінанта кубічного рівняння для знаходження рішення алгебри деяких спеціальних видів кубічних рівнянь [18] .
Леонардо Пізанський, відомий також як Фібоначчі (1170—1250), умів знаходити позитивні рішення кубічного рівняння 3+2x2+10x=20 за допомогою вавилонських цифр.Він вказав рішення 1,22,7,42,33,4,40 (що еквівалентно 1 + 22/60 + 7/60 2 + 42/60 3 + 33/60 4 + 4/60 5 + 40/60 6 ) [19] , Що відрізняється від точного рішення лише на три трильйонні.
На початку XVI століття італійський математик Сципіон дель Ферро (1465-1526) знайшов загальний метод розв'язання важливого класу кубічних рівнянь, а саме рівнянь виду x 3 + m x = n + mx = n> з невід'ємнимиnтаm. Фактично всі кубічні рівняння можна звести до такого виду, якщо припустити можливість для m і n бути негативними, але негативні числа тоді ще були відомі. Дель Ферро тримав своє відкриття у секреті, поки не розповів про нього перед своєю смертю своєму учневі Антоніо Фіоре (Antonio Fiore).
У 1530 Нікколо Тарталья (1500-1557) отримав два завдання у вигляді кубічних рівнянь від Дзуанне да Коі (Zuanne da Coi) і оголосив, що він їх може вирішити. Він незабаром отримав виклик від Фіоре на математичне змагання, яке після його завершення стало знаменитим. Кожен із них мав запропонувати певну кількість завдань супернику на вирішення. Виявилося, що всі завдання, отримані Тарталлею, зводилися до кубічних рівнянь типу x 3 + m x = n + mx = n> . Незадовго до закінчення терміну Тартальє вдалося розробити загальний метод розв'язання кубічних рівнянь цього типу (перевідкривши метод дель Ферро), а також узагальнити його на два інші типи (x 3 = m x + n = mx+n> і x 3 + n = m x +n =mx>). Після цього він швидко вирішив усі запропоновані йому завдання. Фіоре ж отримав від Тартальї завдання з різних розділів математики, багато з яких виявилися йому не під силу; у результаті Тарталья виграв змагання.
Кардано зауважив, що метод Тарталья іноді (а саме – за наявності трьох дійсних коренів) вимагає вилучення квадратного кореня звід'ємного числа. Він навіть включив обчислення з цими комплексними числами в Ars Magna, але, насправді, до кінця проблему не зрозумів. Рафаель Бомбеллі вивчав цю проблему детально, тому вважається першовідкривачем комплексних чисел.
Франсуа Вієт (1540—1603) незалежно вивів рішення кубічного рівняння з трьома дійсними корінням. Його рішення було засноване на тригонометричній формулі
Пізніше Рене Декарт (1596-1650) поглибив роботу Вієта [21] .
Число x , що обертає рівняння в тотожність, називаєтьсякоренемаборішенням рівняння. Воно є також коренем багаточлена третього ступеня, що стоїть у лівій частині канонічного запису.
Так як кожен речовий многочлен непарного ступеня має хоча б один речовий корінь, всі можливі випадки складу коренів кубічного рівняння вичерпуються трьома, описаними нижче. Ці випадки легко відрізняються за допомогою дискримінанту.
Отже, можливі лише три випадки:
Поділом зазначених тотожностей один на одного можна отримати ще кілька справедливих співвідношень:
Загальні точні методи розв'язання:
Для деяких спеціальних типів кубічних рівнянь існують спеціальні способи розв'язання. наприклад,:
Підстановка Вієта
Як зазначалося вище, будь-яке кубічне рівняння можна привести до вигляду:
Зробимо підстановку, відому як підстановка Вієта:
В результаті отримаємо рівняння:
Рішення Омара Хайяма
Просте сучасне підтвердження побудови: множимо на x рівняння і групуємо члени