Квитки по матану - Стор 2

37 . Диференціювання складної та зворотної функцій. приклади. Інваріантність форми першого диференціала при заміні змінної.

а) Диференціювання складної функції.

Нехай дані функції, визначені в околицях на числовій

прямий, деі Нехай також ці функції

диференційовані: Тоді їх композиція також диференційована: і її

похідна має вигляд:

Б) Диференціювання зворотної функції

Нехай функція є зворотною для функції. Якщо існує відмінна від нуля похідна функції по змінній x, то існує і похідна зворотної

функції змінної y . При цьому

В) Інваріантність форми першого диференціала під час заміни змінної.

Диференціал функції в точці має вигляд:

де-диференціал тотожного відображення:

Нехай тепер, і згідно з ланцюговим правилом:

Таким чином, форма першого диференціалу залишається однією і тією самою незалежно від того, чи є змінна функцією чи ні.

38 . Таблиця похідних та диференціалів. (  36)

40 . Криві та функції, задані в параметричному вигляді.

Припустимо, що функціональна

залежність y від x не задана безпосередньо y = f(x), а через проміжну величину - t. Тоді формули

задають параметричне представлення функції однієї змінної.

Якщо припустити, що ці функції φ і ψ мають похідні і для φ існує зворотна функція θ, явне уявлення функції виражається

через параметричне як [1] ​​:

і похідна функції може бути розрахована як

Параметричне уявлення дає таку важливу перевагу, що дозволяє вивчати неявні функції у тих випадках, коли їх приведення до явноговиду інакше як через параметри, важко.

41 . Диференціювання функцій, заданих у параметричній формі

Опр. Нехай залежність між змінними х і у задана за допомогою 2хх = х (t); у = у (t) (*)

Нехай х = х (t) можна відн t, тобто t виражається через х за допомогою t = t (x). (*) зв параметричним завданням ф у = у (х), а аргумент t зв параметр

Припустимо, що х (t), у (t) достатню кількість разів диф,

---