Лекція №3 Методи опису властивостей елементів автоматики
Питання, розглянуті в лекції:
Математичні характеристики елементів автоматики. Диференціальні рівняння, передавальні функції, частотні характеристики. Поняття типових ланок систем регулювання та його характеристики. Типові з'єднання ланок.
Системи управління – це сукупність елементів, у яких відбуваються різні фізичної природи. У системі одночасно можуть бути механічні, електричні, пневматичні та інші елементи, що взаємодіють між собою за відповідними законами, при цьому відбувається перетворення одного виду енергії на інший.
Для розрахунку та досліджень систем автоматичного регулювання елементи системи мають бути представлені універсальними математичними характеристиками.
До них відносяться диференціальні рівняння, передавальні функції, перехідні функції (криві розгону), частотні показники.
Диференціальні рівняння.Для елемента (системи) з одним вхідним впливомx(t)та однією вихідною величиноюy(t)лінійне диференціальне рівняння, що описує його властивості, у загальному вигляді представляється:
(3.1)
Вираз (3.1) називають рівнянням динаміки чи рівнянням руху елемента у часі. Параметри рівняння(aiі bi)залежать від конструкції елементів, мас частин, що переміщаються, обсягів, ємності і т.д.
Якщо у рівнянні (3.1) усі похідні прирівняти нулю, то отримаємо статичну характеристику елемента (системи):
Розрахунок систем регулювання значно спрощується, якщо використовувати недиференціальні рівняння елементів системи, які передавальні функції.
Передавальна функція– це відношення вихідної величини ланки до вхідної за нульових початкових умов. У цьому зазначені величини виражені в операторної формі, тобто.
, (3.3)
Будь-яку тимчасову функціюy(t),x(t)можна перетворити на її зображенняY(p)таX(p)у просторі Лапласа, де всі функції залежать не відt, а від змінноїp. У просторі Лапласа диференціювання у часі, наприклад, областіdy(t)/dtвідповідає множенню на зміннуру просторі Лапласа –pY(p).Аналогічноd2y(t)/dt2=p2Y(p).У подальших математичних перетвореннях оператор"р"розглядається як алгебраїчний співмножник, який можна виносити за дужки, скорочувати і т.п.
Перехідна функція. Математичне рішення рівняння (3.1) описує поведінку вихідної величини y(t) при заданому законі зміни вхідної величиниx(t)та заданих початкових умов. Серед безлічі рішень велике практичне значення має ступінчаста перехідна функція абокрива розгону– це реакція вихідної величини елемента на ступінчасту одиничну зміну вхідноїx=1(t-t0)за нульових початкових умов (рис. 3.1). Криву розгону часто знімають експериментально на об'єкті управління, що діє. Обробка кривої розгону дозволяє оцінити статичні та динамічні властивості об'єкта регулювання, отримати передатну функцію.
Частотні характеристики. Важливою характеристикою динамічних властивостей елемента (системи) є його реакція на гармонійні синусоїдальні дії. Частотні характеристикиодержують шляхом заміни змінної"p"у просторі Лапласа на уявну частотуjw,тутj=
Типові ланки систем регулювання
Незважаючи на велику різноманітність елементів автоматики, можна виділити всього кілька типових (елементарних) ланок, за допомогою яких представиться можливим побудова будь-яких складніших ланок, що зустрічаються на практиці.
Типові ланки поділяються на пропорційні (підсилювальні), аперіодичні (інерційні), коливальні, інтегруючі, диференціюючі та ланка транспортного запізнення.
Пропорційна ланка.Прикладами може бути дільник напруги, важіль, механічний редуктор, підсилювальний каскад та ін. Для цих ланок справедлива пропорційна залежність між вхідною та вихідною величиною:
, (3.4)
деk- коефіцієнт передачі (посилення).
Передатна функція цієї ланки чисельно дорівнює коефіцієнту передачі:
Приклад пропорційної ланки та її характеристики показано на рис. 3.2.
Аперіодична ланка першого порядку(рис. 3.3). Аперіодична ланка описується диференціальним рівнянням:
деТ- постійна часу;
k- коефіцієнт передачі.
Передатна функція цієї ланки визначається виразом:
Прикладами аперіодичного ланки є тепловий об'єкт, де входом служить, наприклад, витрата палива, а вихідною величиною – температура. Інший приклад - технологічна ємність з вільним закінченням рідини, тут вхідний сигнал - витрата рідини, що надходить, вихідний - її рівень в ємності.
Мірою інерційності ланки єпостійна часуТ.
Амплітудно-фазова характеристика ланки є виразом:
Коливальна ланка.Коливальна ланка описується рівнянням другого порядку:
k- коефіцієнт передачі.
З (3.9) випливає передатна функція ланки:
На рис. 3.4 наведено приклади фізичної реалізації коливальної ланки: а – коливальний контур з R, L, C параметрами та механічна система, що включає пружину та гідравлічний демпфер (б).
Перехідна функція (рішення рівняння 3.9) може мати аперіодичний (пунктирна лінія на рис.3.4в) та коливальний вигляд (суцільна лінія).
Амплітудно-фазова частотна характеристика коливальної ланки (рис. 3.4 г) відрізняється тим, що її годограф захоплює негативну область речової осі координатного простору.
Інтегруюча ланка.Рівняння ланки в інтегральній формі має вигляд:
або в диференційній формі (3.11)
Перейшовши до операторної форми, отримаємо передатну функцію:
Наведені вище рівняння справедливі дляідеальноїінтегруючої ланки.
У реальній інтегруючій ланці присутня деяка інерційність, тому диференціальне рівняння та передатна функція реальної інтегруючої ланки мають вигляд:
та
Прикладом реального інтегруючого ланки може бути будь-який технологічний збірник матеріалу, де вхідний сигнал - надходження матеріалу, а як вихідний величини прийняти його масу в збірнику.
На рис. 3.5 показані основні характеристики інтегруючої ланки.
Диференційна ланка. Вихідна величина цієї ланкипропорційна швидкості зміни вхідної:
звідки передавальна функція має вигляд:
У загальному випадку рівняння реальної ланки, що диференціює:
, (3.13)
звідки передавальна функція:
Ланка транспортного (чистого) запізнювання.На відміну від попередніх ланок дана ланка описується рівнянням із запізнілим аргументом:
, (3.14)
деτ- час транспортного запізнення.
Передатна функція та АФЧХ ланки мають вигляд:
Графічно амплітудно-фазова характеристика представляється у вигляді кола одиничного радіусу з центром на початку координат.
Наявність у системі регулювання ланки транспортного запізнення значно знижує якість регулювання, інколи ж робить систему регулювання нестійкою, що буде розглянуто нижче.
Динамічні характеристики типових сполук ланок.
У системах регулювання ланки можуть з'єднуватися в різних поєднаннях. Існує три основні види сполук ланок, комбінуючи які, можна дійти будь-якої складної системи. До таких сполук відносяться: послідовне, паралельне та зустрічно-паралельне (охоплення ланки зворотним зв'язком) з'єднання.
Структурні схеми різних сполук ланок показано на рис. 3.8.
У разі з'єднання двох ланок маємо загальні передавальні функції для випадку "а" та "б" мають вигляд:
і
Зустрічно-паралельне включення (рис. 3.8 в) часто називають з'єднанням з охопленням ланки зворотним зв'язком.
У цьому випадку передатна функція загальної ланки є виразом:
При цьому, у знаменнику ставиться знак "+", якщо зворотний зв'язок негативний і" - " при позитивному зворотному зв'язку.
Для забезпечення стійкості елементів автоматики та систем загалом застосовують в основному негативні зворотні зв'язки.
Перерахуйте способи представлення динамічних характеристик елементів АСР.
Наведіть у загальному вигляді диференціальне лінійне рівняння будь-якого елемента АСР.
Поясніть поняття передавальної функції елемента АСР як на основі диференціального рівняння отримати передатну функцію.
Поясніть поняття перехідної функції елемента автоматики.
Охарактеризуйте частотні характеристики елементів АСР.
Перерахуйте типові ланки систем регулювання.
Характеристики пропорційної ланки.
Наведіть приклади аперіодичного ланки першого порядку та його характеристики.
Уявіть усі динамічні характеристики реальної та ідеальної диференційної ланки.
Наведіть характеристики коливальної ланки.
Як визначається коефіцієнт загасання коливального ланки.
Уявіть динамічні характеристики реальної та ідеальної інтегруючої ланки.
Література до теми № 3: [1], [2], [6]