Лекція 5 семестр 2

Ступінчаста дія. Функція Хевісайду. Перехідна характеристика ЕЦ, її зв'язок із операторною передатною функцією. Інтеграл Дюамеля.

Одинична ступінчаста функція(функція Хевісайда)1(t) визначається наступним чином:

1(t) = (1)

Графік функції1(t) показаний на рис. 1.

Мал. 1. Мал. 2.

Функція1(t) дорівнює нулю при всіх негативних значеннях аргументу та одиниці приt . Введемо на розгляд також зміщену одиничну ступінчасту функцію

1(t-) =

Така дія включається в момент часуt=.

Напруга у вигляді одиничної ступінчастої функції на вході ланцюга буде при підключенні джерела постійної напругиU0=1 приt= 0 за допомогою ідеального ключа (рис. 8.3 ).

Мал. 3.

Перехідною характеристикоюh(t)називається реакція ланцюга на вплив у вигляді одиничної ступінчастої функції1(t) . Перехідна характеристика визначається за нульових початкових умов.

Перехідна функція характеризує ланцюг у перехідному режимі, оскільки є реакцією на стрибкоподібні, тобто. досить тяжкі для будь-якої системи впливу. Крім того, як буде показано нижче, за допомогою перехідної характеристики може бути визначено реакцію ланцюга на довільну дію.

Зв'язок перехідної характеристикиh(t)з операторною передатною функцією Н(р).

За визначенням, операторна передатна функція

(2)

де - Зображення впливу ланцюга (або);

- Зображення реакції ланцюга (або).

З (2) випливає, що

. (3)

Якщо як вплив на ланцюг подати одиничну ступінчасту функцію, тоїї зображення буде. У цьому реакцією ланцюга буде перехідна характеристика ланцюга. Зображення реакції ланцюга можна знайти, скориставшись виразом (3):

(4)

Формула (4) виражає зв'язок між перехідною характеристикою ланцюга і операторною передатною функцією також дозволяє визначати перехідну характеристику ланцюга відомої операторної передавальної функції.

Приклад. Визначити перехідну характеристику послідовного RC-ланцюга (рис. 4).

Впливом є вхідна напругаu1(t)=, а реакцією - напруга на ємностіu2(t)=.

Знайдемо для цього розглянемо операторну схему заміщенняRC-контуру за нульових початкових умов (рис. 5).

Визначимо , скориставшись (4)

Перейдемо від зображення перехідної характеристики до, скориставшись довідковою таблицею, яка містить пари оригінал;

Графік перехідної характеристики показаний на рис.8.6:

Принцип накладання (суперпозиції) дозволяє поширити результати аналізу лінійних ланцюгів при ступінчастих на випадки довільних впливів.

Нехай до ланцюга з відомою перехідною характеристикоюh(t)прикладено вплив у вигляді довільної шматково-безперервної функціїu(t). Для того, щоб при аналізі скористатися перехідною характеристикою, яка є реакцією ланцюга на ступінчасту дію, необхідно цю діюu(t) подати у вигляді сукупності ступінчастих функцій. Для цього розділимо вісь часу на рівні малі інтервалиxі розіб'ємо функціюu(t) на суму елементарних ступінчастих функцій, що включаються через проміжки часу x(рис. 7).

Амплітуда першого ступеня дорівнюєu(0), амплітуда другого -u(t1=x), амплітудаk-тої -u(tk=kx). Очевидно, що вплив після такого розбиття представляється у вигляді ступінчастої кривої і може бути записано наближено у вигляді сукупності зміщених одиничних ступінчастих функцій:

. (5)

Реакція ланцюга на вплив, записаний у вигляді (5), згідно з принципом накладення дорівнюватиме сумі окремих реакцій, викликаних кожним елементарним ступінчастим впливом. Очевидно, що реакція на зміщену ступінчасту функцію дорівнюватиме зміщеній перехідній характеристиці. Тому реакцію ланцюгаu2(t) на впливu(t) може бути приблизно представлено у вигляді :

(6)

Вочевидь, що менше інтервалx,то вище точність подання реакції (6). Для отримання точної реакції необхідно

x 0. Тоді  , а сума нескінченно малих величин перетворитися на інтеграл з межамиx= 0 (k= 1) таx=t(k = n). Реакція запишеться у вигляді:

. (7)

Отриманий результат називається інтегралом Дюамелі. Він дозволяє визначити реакцію ланцюга на задану дію за відомою перехідною характеристикою.

Якщо вплив крім стрибкоподібної зміни приt= 0 має інші стрибки, їх необхідно враховувати при запису інтеграла Дюамеля. Наприклад, припустимо, що впливu(t) на інтервалі відt= 0 доt=t1змінюється згідно із закономf1(t), а приt>t1згідно із закономf2(t) (рис. 8). Причому в момент часуt=t1має місце стрибкоподібна зміна на величину [f2(t1) f1(t1)], яке можна уявити як підключення в моментt=t1ступінчастої функції [f2(t1) f1(t1)] 1(tt1). Враховуючи це, повну реакцію на цей вплив можна записати в наступному вигляді:

дляt

Калькулятор

Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи

1. Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
2. Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС

Номер вашої заявки

Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.

---