Лінійна алгебра 2, Розв’язання задач з математики та інших предметів
Зміст 1 частини контрольної роботи з «Лінійної алгебри»
Підприємство випускає три види продукції, використовуючи сировину трьох видів. Потрібна кількість одиниць кожного виду сировини на виготовлення одиниці продукції кожного виду продукції дано в таблицях 1 і 2. Скласти економіко-математичну модель завдання [скласти систему рівнянь алгебри]. Визначити обсяг випуску продукції кожного виду при заданих запасах сировини [отриману систему вирішити: 1) методом Крамера; 2) матричним методом; 3) методом Гаусса].
Норми витрати сировини виготовлення
Однієї одиниці виробленої продукції, ум. од.
Заповнимо таблицю даними варіанта 1
Норми витрати сировини виготовлення
Однієї одиниці виробленої продукції, ум. од.
Складемо математичну модель даної задачі:
Позначимо через х1 – кількість продукції Р1, через х2 – кількість продукції Р2, через х3 – кількість продукції Р3, які випускатимуться підприємством.
Тоді 4х1+2х2+8х3 - кількість сировини S1, яка буде витрачена за такого плану виробництва виробів. Так як запаси сировини S1 дорівнюють 18, то маємо перше рівняння системи:
Аналогічно запишемо рівняння, використовуючи обмеження на запаси сировини S2, S3:
Остаточно, отримали систему лінійних рівнянь:
Отриману систему вирішимо:
1) методом Крамера,
Запишемо систему як: , BT = (18,27,27)
∆ = 4 • (3 • 0-5 • 16)-2 • (2 • 0-5 • 8)+12 • (2 • 16-3 • 8) = -144
Замінимо перший стовпець матриці А на вектор результату В.
Знайдемо визначник отриманої матриці.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 18 • (3 • 0-5 • 16)-27 • (2 • 0-5 • 8) +27 • (2 • 16-3 • 8) = -144
Замінимо другий стовпець матриці А на векторрезультату Ст.
Знайдемо визначник отриманої матриці.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 4 • (27 • 0-27 • 16)-2 • (18 • 0-27 • 8) +12 • (18 • 16-27 • 8) = -432
Замінимо третій стовпець матриці А на вектор результату В.
Знайдемо визначник отриманої матриці.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 4 • (3 • 27-5 • 27)-2 • (2 • 27-5 • 18) +12 • (2 • 27-3 • 18) = -144
Випишемо окремо знайдені змінні Х
2) матричним методом,
Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів за невідомих; X - матрицю-стовпець невідомих; B - матрицю-стовпець вільних членів:
Вектор B: BT=(18,27,27)
З урахуванням цих позначень дана система рівнянь набуває наступної матричної форми: А*Х = B.
Якщо матриця А - невироджена (її визначник відмінний від нуля, то вона має зворотну матрицю А-1. Помноживши обидві частини рівняння на А-1, отримаємо: А-1*А*Х = А-1*B, А-1* А=Е.
Ця рівність називається матричним записом розв'язання системи лінійних рівнянь. Для визначення рішення системи рівнянь необхідно обчислити зворотну матрицю А-1.
Система матиме рішення, якщо визначник матриці A відмінний від нуля.
Знайдемо головний визначник.
Отже, визначник -144 ≠ 0, тож продовжуємо рішення. Для цього знайдемо зворотну матрицю через додатки алгебри.
Нехай маємо невироджену матрицю А:
Де Aij - алгебраїчне доповнення елемента aij у визначнику матриці А, яке є твором (-1) i + j на мінор (визначник) n-1 порядку, отриманий викресленням i-го рядка і j-го стовпця в визначнику матриці А.
Транспонована матриця до матриці A має вигляд:
Обчислюємо додатки алгебри.
Зотриманих додатків алгебри складемо приєднану матрицю:
Обчислимо зворотну матрицю:
Вектор результатів X X = A-1 • B
3) методом Гауса
Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Працюємо зі стовпцем №1
Помножимо 2-й рядок на (k = -2 / 4 = -1/2) і додамо до 3-го:
Помножимо 1-ий рядок на (k = -4 / 12 = -1/3) і додамо до 2-го:
Працюємо зі стовпцем №2
Помножимо 2-й рядок на (k = -2 / 1/3 = -6) і додамо до 3-го:
Отримаємо одиниці на головній діагоналі. Для цього весь рядок ділимо на відповідний елемент головної діагоналі:
Тепер вихідну систему можна записати як:
З 3-го рядка виражаємо x3
З 2-го рядка виражаємо x2
З першого рядка виражаємо x1
Відповідь: Випускатиметься 1 од. продукції Р1, 3 од. продукції Р2, 1 од. продукції Р3
Завдання. Три галузі промисловості I, II та III є виробниками і водночас споживачами деякої продукції. Їх взаємозв'язку визначає матриця А коефіцієнтів прямих витрат та вектором кінцевої продукції Y:
, .
Знайти коефіцієнти повних витрат; планові обсяги валової продукції; величину міжгалузевих потоків (тобто значення), матрицю непрямих витрат; визначити чисту продукцію кожної галузі. Результати розрахунків оформити як таблиці міжгалузевого балансу 1. Розрахунки рекомендується проводити з точністю до трьох знаків після коми.
Запишемо умову згідно з даними варіанта m=4; n=2
, .
Знайдемо матрицю (Е-А):
.
Для визначення матриці повних витрат знайдемо зворотню матрицю До.
Запишемо матрицю у вигляді:
Визначник відмінний від нуля, отже матриця є невиродженоюі для неї можна знайти обернену матрицю A-1.
Зворотна матриця матиме такий вигляд:
Де Aij – алгебраїчні доповнення.
ЗнайдемоАлгебраїчні доповнення.
Отримуємо зворотну матрицю (вона є матрицею повних витрат):
.
Знаходимо обсяг виробництва галузей (валова продукція):
Отже, планові обсяги валової продукції трьох галузей, необхідних забезпечення заданого рівня кінцевої продукції рівні: .
Для складання балансу розраховуємо міжгалузеві потоки засобів виробництва:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Результати обчислень представимо у формі міжгалузевого балансу (таблиця 1).
Величина чистої продукції визначається тут як різниця між валовою продукцією галузі та сумою міжгалузевих потоків у кожному стовпці.