Логіка та логічні основи комп’ютера, Informatic вікі, FANDOM powered by Wikia

1. З історії алгебри логіки

Термін логіка походить від давньогрецькогоlogos, що означає «слово, думка, поняття, міркування, закон».

Логіка- наука давня. Перші вчення про форми і методи міркувань з'явилися торік у країнах Стародавнього Сходу (Китай, Індія), але основу сучасної логіки лежать вчення давньогрецьких мислителів. Основоположником логіки вважають грецького мислителя Арістотеля, який жив у 384-322 роках до н. Саме він аналізував людське мислення, такі його форми, як поняття, судження, висновок, і розглянув мислення з боку будови, структури, тобто з формального боку. Так виникла формальна логіка - наука, яка намагалася знайти відповідь на питання, як ми міркуємо, що вивчає логічні операції та правила мислення.

На час зародження логіки математика вже пройшла значний шлях розвитку. Протягом багатьох століть логіка допомагала математиці стати суворою, послідовною наукою. Поступово взаємна зв'язок між математикою та логікою призвела до того, що логіка виявилася під впливом математики.

Після падіння античної цивілізації розвиток математики, і особливо логіки, сповільнився, тому що нові логічні ідеї нерідко суперечили формам мислення церкви. Цікаво відзначити: перше, що було відновлено з античної науки, – це саме логіка Аристотеля.

Якщо звернутися до епохи Відродження, до витоків науки нового часу, неважко встановити, що й у разі першими відновлювалися і використовувалися саме розроблені в античності логічні методи. З цього починалася філософія та математика Рене Декарта (1596-1650). Він вважав, що людський розум може осягнути істину, якщовиходитиме з достовірних положень, зводити складні ідеї до простих, переходити від відомого та доведеного до невідомого, уникаючи будь-яких перепусток у логічних ланках досліджень. Фактично Декарт рекомендував науці про мислення – логіку – керуватися загальноприйнятими в математиці принципами.

На той час й інші вчені помітили, що висновки згідно з певними схемами нагадують математичні викладки під час знаходження системи рівнянь та нерівностей. Особливо на цій стороні логічних висновків наполягав великий німецький філософ і математик, який запропонував детальну програму логічних досліджень методами математики. Його вважають основоположником математичної логіки. Це він у XVII столітті намагався побудувати перші логічні обчислення: арифметичні та буквенно-алгебраїчні. Це він уперше висловив думку про можливість застосування двійкової системи числення у обчислювальній математиці.

Завдання логіки описати та дослідити ті способи міркувань, які є правильними.

Логічна ідея не вичерпала себе й досі. Вона знаходить застосування у сучасному розділі математичної логіки як алгебри висловлювань, алгебри множин, алгебри релейних схем, яких програмування і проектування комп'ютерів було б неможливим.

2. Область застосування алгебри логіки.

Алгебра логіки сьогодні є частиною математики.

Своє практичне застосування логіки алгебри (булева алгебра) знайшла:

  1. у обчислювальній техніці.У цьому випадку булеви значення - це 0 і 1. Вони являють собою стан осередку пам'яті об'ємом в 1 біт або наявність/відсутність напруги в електричній схемі. Апарат алгебри логіки використовується привикористання функції "Якщо" в електронних таблицях; у програмуванні – під час запису складних умов, що перевіряються оператором умовного переходу; у базах даних – для формування запитів на пошук необхідної інформації в них. Алгебра логіки дозволяє будувати складні електронні вузли, елементи яких працюють відповідно до цієї математичної теорії;
  2. в логічних побудовах у математиці.У цьому випадку булеві значення - це "брехня" та "істина". Вони визначають істинність чи хибність деякого висловлювання. Ви застосовуєте їх вирішуючи рівняння, системи рівнянь, нерівності;
  3. повсякденних міркуваннях. У цьому випадку булеви значення - це також "брехня" та "істина". Вони є оцінкою істинності чи хибності деякого висловлювання.

3.Форми людського мислення.

Логіка розглядає три різні форми, в яких здійснюється мислення: поняття, судження (висловлювання) та висновок.

ПОНЯТТЯ- форма мислення, що відбиває предмети у тому загальних і істотних ознаках.Мовною формою висловлювання поняття є слово.

Істотними називаються такі ознаки, кожен з яких, взятий окремо, необхідний, а всі разом достатні, щоб за їх допомогою відрізнити (виділити) даний предмет (явище) від усіх інших і зробити узагальнення, об'єднавши однорідні предмети в безліч>

Наприклад, ознаками поняттяапельсинє:круглий, помаранчевий, пружний, солодкий, ароматний.Чи можна за цими ознаками відрізнити апельсин від апельсина? По них легко відрізнити апельсин від яблука, але не можна відрізнити апельсин від мандарину: великий мандарин можна сплутати з маленьким апельсином. Тому для точної ідентифікації апельсину необхіднозапровадити додаткові ознаки.

Всіх тих учнів, які мають виділені ознаки, можна об'єднати в безліч.

Наприклад, обсяг поняттярічка -це безліч, що складається з річок, що носять іменаОб, Іртиш, Єнісей, Волгата ін. Обсяг поняттяученьвключає в себе всіх людей, які колись навчалися, навчаються зараз або навчатимуться колись. Стосовно одне одного поняття діляться на порівняні і незрівнянні.

Далекі один від одного за своїм змістом поняття, що не мають загальних ознак, називаються незрівнянними.

Приклади незрівнянних понять:

2)Безвідповідальністьінитка.

Інші поняття називаютьсяпорівняними.

Порівнянні поняття діляться за обсягом на сумісні (обсяги цих понять збігаються повністю або частково) і несумісні (обсяги яких не збігаються по жодному елементу).

МЕРКАВАННЯ(висловлювання, твердження) — форма мислення, в якій щось стверджується або заперечується про предмети, їх властивості або відносини між ними.Мовним виразом суджень є оповідальна пропозиція.

1) Цей апельсин смачний.

2) Усі вписані кути, що спираються на діаметр – прямі.

ЗМІСТ судження - це те, про що в ньому йдеться, його сенс.

Судження позначаються великими літерами латинського алфавіту: А, У, З, D, . Характеристикою кожного судження (висловлювання) є, єістинністьабохибність;цю характеристику називаютьзначенням істинності(або істинним значенням) даного судження. Якщо судження істинне, то значення істинності судження позначають числом 1, якщо судження помилкове – числом 0. Наприклад, судження "Київ -столиця України" - справжнє. Якщо його позначити буквою А, то можна записати: А = 1. Судження "Висота гір на Землі перевищує 15 км" - хибне. Якщо його позначити буквою В, то можна записати: В = 0.

Ті твердження (чи пропозиції), про які не можна сказати, істинні вони чи хибні, є судженнями. Наприклад, твердження: "Ця книга - інформатика", "Метеорологічний прогноз" - не судження.

Не будуть судженнями пропозиції питання і оклику: «Кому на Русі жити добре?», «Добре бути генералом!».

Судженнями нічого очікувати і затвердження виду: «5 + Х = 12», «Х + Z «5 + Х =12, якщо Х=7».

«Кількість Y кратна 3, коли сума цифр числа Y ділиться на 3 без залишку».

Судження поділяються на загальні та приватні.

ПРИВАТНІ судження висловлюють конкретні (приватні) факти.

Приклади приватних суджень: «7 – 2»; 3», «Місяць — супутник Землі», «Цей чотирикутник ромб».

ЗАГАЛЬНІ судження характеризують властивості груп об'єктів чи явищ.

Приклади загальних суджень: «У будь-якому прямокутному трикутнику є кут в 90 °», «Кожна людина - ссавець».

Може виявитися, що два судження А і В одночасно правдиві або одночасно помилкові; такі судження називаютьсярівносильними (еквівалентними)і позначаються:А=В.

А = "цей трикутник рівносторонній";

В= "цей трикутник рівнокутний" - будуть рівносильними, так що А = В.

Розрізняють судження прості та складні.

Судження вважається простим, якщо ніяка його частина не є судженням.

СКЛАДНІсудження характеризуються тим, що утворені з кількох суджень за допомогою певних способів з'єднання суджень; прості судження цією властивістю не мають. Наприклад,судження: "Париж - столиця Албанії" -просте. А судження «Невірно, що Париж – столиця Албанії» – складне. (Демонструється слайд 21)

'УМОВИКЛЕННЯ— 'форма мислення, за допомогою якої з одного або декількох суджень, званих посилками, ми за певними правилами висновку отримуємо судження-висновок.Наприклад:

  1. Академік Єршов русифікував мову Паскаль.
  2. Мова Паскаль – структурна мова.

Посилками висновку за правилами логіки можуть лише справжні судження.

Приклади вірних висновків:

  1. Усі громадяни України мають право на відпочинок.
  2. Я – громадянин України.
  3. Я маю право на відпочинок.
  4. Якщо квіти поливають, то вони не засохнуть.
  5. Квіти засохли.

Не завжди з справжніх посилок можна отримати справжній висновок.

Якщо щось є метал, воно проводить електричний струм. Справжня думка

Алюміній проводить струм. Справжня думка

Алюміній – метал. Справжній висновок

Якщо щось є метал, воно проводить електричний струм. Справжня думка