Мат. аналіз 01-05-Натуральні та цілі числа
1.5. Натуральні та цілі числа
Зазвичай натуральні та цілі числа вивчаються в окремих курсах, пов'язаних із арифметикою. наприклад, [Нечаєв]. У цьому розділі ми розглянемо безліч натуральних чисел у контексті аксіоматики та властивостей дійсних чисел.
Спочатку є всього два виділені числа - це нуль (0) і одиниця (1). Далі покладемо
Іншими словами, натуральні числа містять одиницю і все, що з неї виходить шляхом додавання, і нічого більше. Відповідно,
Таке визначення зрозуміле на інтуїтивному рівні, але нам знадобиться ще «працююче» визначення, на основі якого можна буде доводити властивості натуральних чисел. Для цього попередньо введемо поняття індуктивної множини.
Визначення. Підмножина X називається індуктивною множиною, якщо вона задовольняє умовам:
Індуктивні множини існують, їх навіть багато, наприклад,
дуючі множини індуктивні:
1 , 2 . Тепер покладемо
рівним перетину всіх індуктивних множин.
Лемма 1.5.1. Перетин індуктивних множин індуктивно.
Доведення. 1) Одиниця належить кожному індуктивному багато-
отже, і їх припинення.
Нехай певний елемент
x належить перетину індуктивних
множин, отже, він належить кожному їх. Але тоді за якістю (N2)
належить кожному з цих множин, та їх перетину,
що й доводить властивість (N2)
Значить, - це мінімальна індуктивна множина, що міститься в
інших індуктивних множин. Зокрема,
i , j , k , l , m , n ,… Зазначимо також, що якщо умову (N1) замінити умовою
то це призведе до аналогічної побудови множини
Таке визначення натуральних чиселдозволяє працювати із нею.
воно дозволяє давати так звані індуктивні визна-
лення іншим поняттям,
пов'язаним із натуральними числами.
приклад 1.5.1. «Шкільне» визначення натурального ступеня числа виглядає так:
Індуктивне визначення ступеня визначається наступним чином:
2) a n 1 a n a , n 0,1,2.
а якщо за визначенням покласти
то пункт 1) виводиться з пунктів 0) із 2), т.к. a 1 a 0 1 a 0 a 1 a a .
У загальному випадку можна визначити добуток n співмножників
(читається «твір a k до k від одиниці до n »), або індуктивно
– a k 1, (порожній твір за визначенням дорівнює 1)
- Ak a k a n 1 , n 0,1,2.
Важливий окремий випадок цього має вигляд
читається як «n
факторіал»), причому 0! 1.
Аналогічно визначається сума n
(читається «сума a
k по k від одиниці до n»), або індуктивно
(порожня сума за визначенням дорівнює 0)
Другий напрямок використання індуктивності натуральних чисел полягає в так званому методі доказу по індукції (метод математичної індукції). Він ґрунтується на наступній теоремі.
Теорема 1.5.2. Нехай P ( n ) – твердження щодо натуральних
чисел n для якого виконується:
Тоді P(n) виконується для всіх натуральних чисел.
них чисел n , для яких виконується умова
P (n). Очевидно, це індук-
, яке має збігатися з
Як ілюстрацію методу математичної індукції доведемо важливу нерівність.
Теорема 1.5.3. (Нерівність Бернуллі) Нехай 1. Тоді для будь-якого натурального n виконується нерівність
Доведення. Роль затвердження P ( n ), що доводиться.
венство(1), до якого і будемо застосовувати теорему 1.5.2.
1) Заснування індукції. При n 1 нерівність має вигляд
і, очевидно, виконується.
2) Крок індукції. Нехай нерівність (1) правильна для n 1, тоді з урахуванням 1 його можна помножити на (1 ) 0, що дає
(1) n 1 (1 n )(1 ) 1 ( n 1) n 2 .
Оскільки n 2 0, звідси одержуємо нерівність
який має вигляд (1) для n 1. Це доводить крок індукції та теорему.
Зазначимо одну особливість підтвердження індукції. Цей метод дозволяє перевіряти істинність цього твердження P (n), але не допомагає знаходити такі твердження. Пошук – це творчий процес.
Перелічимо основні арифметичні властивості множин, 0, .
1) , 0 замкнуті щодо складання.
2) замкнуто щодо віднімання, а , 0 – не замкнуті, точніше
m , n ( n m m n ), m , n 0 ( n m 0 m n ). 3) , 0 замкнені щодо множення.
4 4) , 0 , не замкнуті щодо поділу. Це породжує багату тео-
рію подільності, яку в рамках курсу математичного аналізу не вивчають. 5) 0 мають мінімальний елемент 1 (соотв. 0), а не має.
6) , 0 не мають максимального елемента.
7) m, n (n m n 1 m n). Тобто між n і n 1 ніяких інших цілих чисел немає.
Доказ не веде до курсу математичного аналізу і може бути надано для самостійного вивчення.
А ось властивості натуральних та цілих чисел щодо дійсних чисел наведемо з доказами.
1) , 0 , не обмежені зверху.
2) не обмежено знизу в.
3) Будь-яке непусте обмежене зверху підмножина, 0, має мак-
4) Будь-яке непусте обмежене знизу підмножина , 0 має мінімальний елемент (зазначимо, що обмеженість знизу для ,0 очевидна).
5) x! n (x 1 n x).
6) x! n (n x n 1).
Доведення. 1) Зазначимо, відсутність максимального елемента ще доводить необмеженості в . Т.к. 0, достатньо довести необмеженість зверху. Доказ буде від неприємного.
Припустимо, що обмежено,
тобто. c (c). Але тоді суще-
є a sup , тобто ми маємо
n ( n a ) і при цьому знайдеться
m (m a 1). Але тоді буде m 1 , m 1 a що неможливо. Це і доводить від неприємного п. 1).
2) Якщо припустити, що обмежено знизу, те й безліч обмежено знизу, тобто. c (c). Але тоді c, що суперечить п. 1).
3) Нехай X , X – множина, обмежена зверху
Покажемо, що насправді amax X .
то з визначення sup знайдеться m X
(a 1 m a), і n X (m n a).
Але тоді буде 0 n m a (a 1) 1,
що цілих чисел неможливо. Так що a max X.