Математична енциклопедія

СИМЕТРИЗАЦІЇ МЕТОД-

(теоретично функцій) - одне із методів розв'язання екстремальних завдань геометрич. теорії функцій В основі методу лежить поняттясиметризаціїзамкнутих і відкритих множинп-мірного евклідового простору. Вперше С. м. в теорії функцій був застосований до вивчення властивостей трансфінітного діаметра (див. [1]), Дещо пізніше - до вирішення проблеми Карлемана - Міллу (див. [2]), а потім використовувався досить широко (див. [3] ] - [6], [9]).

Використання С. м. в теорії функцій засноване на монотонному характері зміни ємності конденсатора та внутрішнього радіусу області за різних видів симетризації. Можливість застосування С. м. при вирішенні екстремальних задач геометричні. Теорія функцій обумовлюється певною симетрією екстремальних відображень. Спираючись на властивість незниження внутрішнього радіусу області при її симетризації щодо прямої або променя, за допомогою теореми про зміну внутрішнього радіусу області при відображенні її за допомогою регулярної функції було отримано наступний принцип симетризації (див. [4]): якщо функція w=f(z), f(0)=w0,f'(0)=a1, регулярна у колі - безліч значень функціїw=f(z).- результат симетризаціїEfщодо променя або прямий, що проходять черезw=w0,a - внутрішній радіус області щодо точки w=w0, то

(*)

Рівність (*) має місце тоді і тільки тоді, коли функціяw=f(z)однолистна в E, а область збігається зЕ f(при симетризації Штейнера) або виходить зEfвнаслідок повороту навколоw=w0 (при симетризації Пойа). Аналогічний результат має місце і для інших видів симетризації, для яких бралосправедлива властивість незниження внутрішнього радіусу. Додаткове дослідження зазвичай необхідне для з'ясування умов досяжності у (*) рівності.

Є узагальнення принципу симетризації у разі кільця і областей довільної зв'язності (див. [6]). Плідним виявляється поєднання С. м. з іншими методами розв'язання екстремальних задач геометрич. теорії функцій (екстремальної метрики методом,теорієюквадратичних диференціалівта ін). Таким шляхом було отримано ряд теорем покриття та спотворення для різних класів регулярних в даній області функцій (однолистих, однолистних в середньому, слабо р-листових у колі або в кільці та ін, див. [4] - (6))>

С. м. застосовується також при вивченні властивостей просторових квазіконформних відображень. Ця обставина є особливо суттєвою у зв'язку з обмеженими можливостями дослідження таких відображень. С. м. дозволяє знаходити серед двозв'язкових просторових областей, що мають певні геомотрич. властивостями, область із найбільшим конформним модулем. Визначення такої області у свою чергу дозволяє встановити деяку екстремальну властивість квазіконформного відображення. Зокрема, за допомогою С. м. встановлені деякі теореми спотворення для квазіконформних відображень у тривимірному евклідовому просторі (див. [7], [8]).

Лит.: [1] F a b e r G., "Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. [2] В e u r 1 i n g A..Etudes sur un probleme de majoration, Uppsala, 1933; [з англ.], М., 1962; [4] Хейман У. До., Багатолисті функції, пров. з англ., М., 1960; [5] Д е н к і н з Д ж., Однолисті функції та конформні відображення, пров. з англ., М.,1962; [6] Голузін Г. М., Геометрична теорія функцій комплексного змінного, 2 видавництва, М., 1966; [7] Шабат Б. Ст, "Докл. АН СРСР", 1960, т. 132, № 5, с. 1045-48; [8] Gehrin F. W., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1961, v. 101 № 3, p. 499-519; [9] B a e r ns t e i n A., "Acta math.", 1974, v. 133, p. 139-69.

Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.