Математичні крила авіабудування

Авіабудування - найважливіша галузь сучасної промисловості. Між літакобудівними фірмами (включаючи пов'язані з ними наукові інститути) йде змагання, мета якого - створення виробів, що перевершують аналоги конкурентів: для пасажирських та вантажних літаків - з безпеки, економічності, екологічності; для військових літаків - за бойовими якостями. Для досліджень у сучасній авіаційній науці властиво використання адекватних математичних моделей, основа яких — чітке розуміння фізики досліджуваних явищ. Розробка та конструювання нових літаків неможливі без застосування «високоматематизованих» наук, таких як аеродинаміка, теорія управління, міцність.

Аеродинаміка - наука, що вивчає взаємодію повітряного потоку і обтіканого ним тіла. Швидкість літака настільки велика, що його потік, що обтікає, стає турбулентним. Турбулентний перебіг відрізняється від «спокійної» ламінарної течії хаотичною зміною його характеристик за часом (швидкістю, тиском та ін.), що призводить до інтенсивного перемішування газу, до виникнення вихорів. Основна математична проблема турбулентності — створення системи диференціальних рівнянь у приватних похідних, яка описувала б довільні турбулентні течії і яку можна було б вирішувати на сучасних комп'ютерах, — досі не вирішена. Тому на даний час на основі рівнянь математичної фізики створюються напівемпіричні моделі турбулентності, придатні для опису лише вузького класу течій.

Як визначаються аеродинамічні характеристики літака? В основному двома методами: експериментальним та розрахунковим. Для проведення експериментальних досліджень в аеродинамічних трубах створюють моделі літаків – зменшеніу кілька разів копії оригіналів. Це з тим, що розміри аеродинамічних труб неможливо проводити випробування з реальними літаками. Але дані, отримані на випробуваннях моделі в аеродинамічній трубі, перерахувати в характеристики літака простим масштабуванням, враховуючи коефіцієнт подібності моделі і реального літака, не можна.

Річ у тім, що рівняння, яким підкоряються показники течії, досить складні. Якщо привести їх до безрозмірного вигляду, тобто виразити всі розмірні величини в характерних для даної течії параметрах, то до рівнянь увійдуть безрозмірні величини, які носять імена видатних вчених: число Маха, число Рейнольдса, число Струхала та ін. Для суворої подоби необхідно щоб всі ці величини збігалися при реальному польоті літака і при випробуваннях моделі в трубі. Але конкретні властивості повітряного потоку, що використовується у трубі, не дозволяють виконати всі критерії подібності. Крім того, і у випадку закритої, і у випадку відкритої труби той факт, що потік не безмежний, позначається на аеродинамічних характеристиках.

Виникає завдання перерахунку з моделі на натурний літак інтегральних характеристик (сумарних сил і моментів) та розподілених характеристик (значення у конкретних точках тиску, температури та ін.). Це завдання вирішується проведенням чисельного розрахунку рівнянь математичної фізики для двох напівемпіричних моделей: літака у безмежному потоці та моделі літака в аеродинамічній трубі. Аеродинамічні характеристики літака одержують, додаючи до даних, отриманих на випробуваннях зменшеної копії літака в аеродинамічній трубі, різниця однотипних даних, отриманих для двох описаних напівемпіричних моделей.

Здавалося б, чому не зробити розрахунок відразу, не вдаючись доексперименту? Справа тут точно. Точність експериментальних даних, отриманих у хороших аеродинамічних трубах, у кілька разів вища за точність розрахунку.

Основна формула аеродинаміки - зв'язок підйомної сили, що діє на крило, зі швидкістю руху та циркуляцією (інтенсивністю) вихрової системи, що породжується літаком. Ця формула була отримана «батьком української авіації» професором М. Є. Жуковським та доповідана їм на засіданні Московського математичного товариства у 1905 році.

Крило літака має бути оптимальним. Один із найважливіших параметрів крила — його якість: так називають відношення підйомної сили до сили опору. Для створення оптимального (якісного) крила вирішуються завдання варіаційного обчислення.

Теорія управління. Політ літака складається з декількох фаз: зльоту, набору висоти, крейсерського руху, розворотів, зниження, посадки. На кожному етапі літаком потрібно керувати. Закрилок на крилі або кермо висоти на хвостовому оперенні приклади органів управління. Система управління має бути сконструйована так, щоб прості рухи пілота в кабіні передавалися і доходили до органів управління, викликаючи відповідні реакції. З іншого боку, система має бути досить «розумною», елементи її конструкції не повинні виходити за межі безпечного режиму.

Ще одне завдання – створення автопілота, здатного керувати рухом літака без втручання льотчика.

За всі ці проблеми відповідає математична теорія автоматичного управління літаком, що базується здебільшого на теорії диференціальних рівнянь. За допомогою цієї теорії створюється математична модель просторового руху літака, досліджуються питання стійкості польоту.

Міцність. Мало створити літак зхорошими аеродинамічними даними необхідно, щоб він не зруйнувався в польоті, щоб його ресурс (довголіття) був досить високий. За вирішення цього завдання відповідає наука, яка називається міцністю.

Методами міцності досліджуються пружні та пластичні деформації елементів конструкції літака, зростання тріщин у обшивці літака (у матеріалі обшивки спочатку присутні мікротріщини, які з часом можуть зростати), руйнування конструкції.

Математичний арсенал на вирішення завдань міцності включає класичні і сучасні методи рівнянь математичної фізики, диференціальних рівнянь, варіаційного обчислення, комплексного аналізу, обчислювальних розділів лінійної алгебри.

Кожен, хто бачив в ілюмінаторі, як поводиться крило літака в польоті, помічав досить велику амплітуду його коливань. Справа в тому, що для зменшення амплітуди коливань крила необхідно збільшувати його вагу, а у літака вага конструкцій намагаються мінімізувати. Тому від коливань крила позбутися не вдається. Розділ механіки, що вивчає завдання математичної теорії коливань та резонансу, - аеропружність.

Методи рішення. Обговоримо методи вирішення математичних завдань, про які йшлося вище.

Визначальні рівняння у реальних завданнях дуже складні і апріорі неможливо зрозуміти, що вийде за її вирішенні.

У дуже спрощених з практичної точки зору завдання іноді вдається отримати точне рішення. Більшість таких завдань вже вирішено, хоча досі знаходять невідомі раніше точні рішення рівнянь Навье-Стокса чи Ейлера. Але набір таких завдань обмежений і вони далекі від практично важливих завдань.

В той же час дослідження цих завдань є дуже важливим, оскільки точні рішення створюють фізичні образи — вихор, прикордонний шар.і т. п., - з яких будується фізична картина процесу, що вивчається, як з елементарних цеглинок будується будинок. Отримане уявлення про фізику процесу дозволяє серед безлічі математичних моделей вибрати таку, яка в достатній мірі відображає властивості процесу, що моделюється, і дає можливість технічного пошуку рішення.

Один із способів рішення – чисельний. Часто чисельне розв'язання задачі зводиться до системи лінійних рівнянь алгебри.

Ще один спосіб можливий за наявності малого параметра. Таким параметром може бути відношення хорди (ширини) крила до його розмаху, відношення в'язких сил до інерційних (ставлення сили тертя між шарами газу до сили інерції цих шарів), відношення ширини тріщини до її довжини. До теперішнього часу розвинені %асимптотичні методи розв'язання задач з малим параметром, які вивчаються в математичній теорії збурень.

Наведемо як приклад розв'язання задачі про підйомну силу крила великого подовження (відношення квадрата розмаху до площі крила). Тут два малі параметри — ставлення в'язких сил до інерційних та відношення хорди крила до його розмаху.

Завдяки першому параметру рішення задачі можна визначати не з рівнянь Навье-Стокса (моделюють рух газу з урахуванням тертя між шарами), та якщо з рівнянь Ейлера (тертя між шарами газу відсутня). Завдяки другому параметру, кожен переріз крила обтікається так само, як обтікалося б крило нескінченного подовження з профілем, що відповідає профілю крила в даному перерізі. Тим самим завдання обтікання тривимірного крила трансформується в ряд більш простих задач про двовимірну (плоську) течію біля профілів крила.

Отже, завдяки цим двом параметрам завдання стало набагато простіше, ніж початкове.

Вимоги до літаків постійнопосилюються — екологічні та економічні, з безпеки польотів та комфорту пасажирів. Літаки вдосконалюються, багато в чому завдяки математичним досягненням, які втілюються в технічні рішення.