Математичні методи в медицині - Медична енциклопедія - все про здоров’я серця
Математичні методи в медицині - сукупність методів кількісного вивчення та аналізу стану та (або) поведінки об'єктів та систем, що належать до медицини та охорони здоров'я. У біології, медицині та охороні здоров'я до кола явищ, що вивчаються за допомогою М.м., входять процеси, що відбуваються на рівні цілісного організму, його систем, органів та тканин (у нормі та при патології); захворювання та способи їх лікування; прилади та системи медичної техніки; популяційні та організаційні аспекти поведінки складних систем у охороні здоров'я; біологічні процеси, які відбуваються на молекулярному рівні. Ступінь математизації наукових дисциплін є об'єктивною характеристикою глибини знань про предмет, що вивчається. Так, багато явищ фізики, хімії, техніки описуються М.М. досить повно. В результаті ці науки досягли високого ступеня теоретичних узагальнень. У біологічних науках М.М. поки що грають підлеглу роль через складність об'єктів, процесів та явищ, варіабельність їх характеристики, наявність індивідуальних особливостей.
Систематичні спроби використати М.м. у біомедичних напрямах розпочалися у 80-х роках. 19 ст. Загальна ідея кореляції, висунута англійським психологом та антропологом Гальтоном (F. Galton) та вдосконалена англійським біологом та математиком Пірсоном (К. Pearson), виникла як результат спроб обробки біомедичних даних. Так само зі спроб вирішити біологічні проблеми народилися відомі методи прикладної статистики. До цього часу методи математичної статистики є провідними М.М. для біомедичних наук. Починаючи з 40-х років. 20 ст. математичні методи проникають у медицину та біологію через кібернетику та інформатику. Найбільш розвинені М.М. в біофізиці, біохімії, генетиці,фізіології, медичного приладобудування, створення біотехнічних систем. Завдяки М.М. значно розширилася область пізнання основ життєдіяльності та з'явилися нові високоефективні методи діагностики та лікування; М. м. лежать в основі розробок систем життєзабезпечення, що використовуються в медичній техніці. Дедалі більшу роль у впровадженні М.М. у медицину грають ЕОМ (див. Електронна обчислювальна машина).
Зокрема застосування методів математичної статистики полегшується тим, що стандартні пакети прикладних програм для ЕОМ забезпечують виконання основних операцій зі статистичної обробки даних. М.М. стуляються з методами кібернетики та інформатики, що дозволяє отримувати більш точні висновки та рекомендації, впроваджувати нові засоби та методи лікування та діагностики. Математичні методи застосовують для опису біомедичних процесів (насамперед нормального та патологічного функціонування організму та його систем, діагностики та лікування). Опис проводять у двох основних напрямках. Для обробки біомедичних даних використовують різні методи математичної статистики, вибір одного з яких у кожному конкретному випадку ґрунтується на характері розподілу даних. Ці методи призначені виявлення закономірностей, властивих біомедичним об'єктам, пошуку подібності і відмінностей між окремими групами об'єктів, оцінки впливу них різноманітних зовнішніх чинників тощо.
На основі певної гіпотези про тип розподілу даних, що вивчаються в серії спостережень і використання відповідного математичного апарату з тією чи іншою достовірністю встановлюються властивості біомедичних об'єктів, робляться практичні висновки, даються рекомендації. Опис властивостей об'єктів, що отримуються за допомогою методів математичноїстатистики називають іноді моделями даних. Моделі даних не містять будь-якої інформації або гіпотез про внутрішню структуру реального об'єкта і спираються лише на результати інструментальних вимірів. Інший напрямок пов'язаний з моделями систем і ґрунтується на математичному описі об'єктів і явищ, що змістовно використовують відомості про структуру систем, що вивчаються, механізми взаємодії їх окремих елементів. Розробка та практичне використання математичних моделей систем (математичне моделювання) становлять перспективний напрямок застосування М.М. у біології та медицині. Статистичні методи обробки стали звичним і поширеним апаратом для працівників медицини та охорони здоров'я, наприклад діагностичні таблиці, пакети прикладних програм для статистичної обробки даних на ЕОМ (див. Програмування). Однак використання цієї групи М.М. викликало ряд проблем принципового характеру, пов'язаних із вибором адекватного завданню методу статистичної обробки та змістовно обґрунтованого його застосування.
Існує кілька основних понять, необхідні ефективного використання методів сучасної багатовимірної статистики. Статистична сукупність - поняття, що лежить в основі всіх статистичних методів. Об'єкти, з якими мають справу в медицині, мають велику варіабельність - їх характеристики змінюються в часі і просторі в залежності від багатьох факторів, а також істотно відрізняються один від одного. Характеристики таких об'єктів зазвичай представляють у вигляді матриці спостережень, де стовпці відповідають різним ознакам, а рядки - або різним об'єктам, або послідовним у часі спостереженням за тим самим об'єктом. Через варіабельність вимірюваних ознак доводиться вважати їх значеннявипадковими величинами і користуватися імовірнісними (стохастичними) постановками завдань: матриця спостережень є вибіркою, або вибірковою сукупністю випадкових величин з певної генеральної сукупності. Сама генеральна сукупність зазвичай сприймається як безліч всіх об'єктів певного типу чи сукупність всіх можливих реалізацій будь-якого явища. Основними завданнями статистичного дослідження є виявлення та аналіз закономірностей, властивих об'єктам у вибірці, з метою встановлення можливості та достовірності перенесення зроблених висновків на генеральну сукупність.
Ознаки, що характеризують об'єкти в медицині та охороні здоров'я, поділяються на кількісні, порядкові та якісні. Для кількісних ознак можна вказати точну характеристику - число (наприклад, вага, зростання, величина АТ, дані аналізів). Для порядкових ознак (рангових, якщо кожної градації ставиться у відповідність число - ранг) точна характеристика неможлива, але можна вказати ступінь вираженості відповідної властивості (хрипи в легенях - поодинокі, множинні; інтенсивність кашлю - слабка, середня, сильна, дуже сильна). Якісні ознаки не піддаються упорядкуванню або ранжируванню (колір очей - блакитний, сірий, коричневий). Зазвичай об'єкти в біології та медицині описуються безліччю ознак одночасно. Набір врахованих для дослідження ознак називається простором ознак. Значення цих ознак для даного об'єкта однозначно визначають його положення як точку в просторі ознак. Якщо ознаки розглядаються як випадкові величини, то точка, що описує стан об'єкта, займає у просторі ознак випадкове становище. Закон розподілу випадкової величини - це функція, що визначає ймовірність того, щобудь-яка ознака набуде заданого значення (якщо він дискретний) або потрапляє в заданий інтервал значень (якщо він безперервний). При великій кількості вибіркових даних, значення яких незначно варіюють, закон розподілу може бути апроксимований гістограмою. Для побудови гістограми інтервал значень ознаки розбивається на рівні ділянки, котрим підраховується частота потрапляння випадкової величини. При нескінченному збільшенні числа спостережень і ділянок частота прагне ймовірності, а вид гістограми наближається до кривої, що виражає функцію щільності (або ймовірності ймовірності) випадкової величини.
Закони розподілу можуть бути одновимірними та багатовимірними. У разі закон визначає можливість появи поєднаних значень ознак чи потрапляння в деяку область простору ознак. У прикладній статистиці особливу роль грають кілька найчастіше використовуваних законів розподілу. Найбільш розроблена гіпотеза про нормальний розподіл (закон Гаусса), функція щільності ймовірності f(x) для якого має вигляд: де М – математичне очікування, s – середньоквадратичне (стандартне) відхилення, е – основа натуральних логарифмів (e = 2.718…). Параметри закону Гауса М і s приблизно оцінюються за будь-якою вибіркою з генеральної сукупності: , де N - обсяг вибірки, х - значення досліджуваного кількісного ознаки для 1-го виміру. Величина о, зведена у квадрат, називається дисперсією: D = s 2
Дисперсія характеризує розкид (варіабельність) довільної величини близько середнього значення. При нормальному розподілі випадкової величини її значення з великою ймовірністю (рівною 0,9972) відхиляються від М в ту чи іншу сторону не більше ніж на 3s (правило трьох сигм). Оцінка математичного очікування Мза вибіркою (звана вибірковим середнім) також є випадковою величиною. Вона описується так званим розподілом Стьюдента. Цей розподіл залежить від числа спостережень (числа ступенів свободи) і наводиться у довідниках прикладної статистики.
Критерій Стьюдента (t-критерій) використовується для оцінки та порівняння середніх значень нормально розподілених випадкових величин. Є узагальнення закону та критерію Стьюдента на багатовимірний випадок. Вибіркова дисперсія також є випадковою величиною, розподіл якої отримав назву розподілу c 2 (хі-квадрат) Пірсона (на ім'я одного з основоположників біометрії). Таблиці значень c 2 включені у всі посібники зі статистики. З розподілу c 2 будуються довірчі інтервали випадкових величин. Для порівняння вибіркових дисперсій двох серій спостережень використовують розподіл Фішера, який залежить від числа ступенів свободи обох вибірок і представлено в табличній формі. Критерій Фішера (F-критерій) застосовується для порівняння вибіркових дисперсій та формування оцінок у регресійному, дисперсійному та дискримінантному аналізі. Перелічені типи розподілів належать до безперервних випадкових величин. Для випадкових дискретних величин використовується розподіл Пуассона (закон рідкісних явищ)
Бібліогр.: Афіфі А.А. та Ейзен С. Статистичний аналіз, пров. з англ., М., 1982; Кощеєв В.А. Автоматизація статистичного аналізу даних, М., 1988; Марчук Г.І. Математичні моделі в імунології, М., 1985; Новосільцев В.М. Теорія управління та біосистеми, М., 1978; Романовський Ю.М., Степанова Н.В. та Чернавський Д.С. Математична фізика, М., 1984; Урбах В.Ю. Статистичний аналіз у біологічних та медичних дослідженнях, М., 1975, бібліогр.: Ферстер Е. та Ренц Би.кореляційного та регресійного аналізу, пров. з ньому., М., 1983; Штейн Л.Б. Досвід прогнозування у медицині з допомогою ЕОМ, Л., 1987.