Математика Криві другого порядку, Реферат

  • Категорія: Математика
  • Тип: Реферат

1.Криві другого порядку

2.Теореми, пов'язані з кривими другого порядку

Вперше криві другого порядку вивчалися одним із учнів Платона. Його робота полягала в наступному: якщо взяти дві прямі, що перетинаються, і обертати їх навколо бісектриси кута, ними утвореного, то вийде конусна поверхня. Якщо ж перетнути цю поверхню площиною, то в перерізі виходять різні геометричні фігури, а саме еліпс, коло, парабола, гіпербола та кілька вироджених фігур.

Однак ці наукові знання знайшли застосування лише в XVII, коли стало відомо, що планети рухаються еліптичними траєкторіями, а гарматний снаряд летить параболічною. Ще пізніше стало відомо, що якщо надати тілу першу космічну швидкість, воно рухатиметься по колу навколо Землі, при збільшенні цієї швидкості - по еліпсу, а після досягнення другої космічної швидкості тіло по параболі залишить поле тяжіння Землі.

1. Криві другого порядку

Кривий 2-го порядку називається лінія на площині, яка у деякій декартовій системі координат визначається рівнянням

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

де a, b, c, d, e, f - Речові коефіцієнти, причому a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вигляд кривої залежить від чотирьох інваріантів:

інваріанти щодо повороту та зсуву системи координат:

інваріант щодо повороту системи координат (напівінваріант):

Багато важливих властивостей кривих другого порядку можуть бути вивчені за допомогою характеристичної квадратичної форми, що відповідає рівнянню кривої:

Так, наприклад, невироджена крива виявляється речовим еліпсом, уявнимеліпсом, гіперболою або параболою в залежності від того, чи буде позитивно визначеною, негативно визначеною, невизначеною або напіввизначеною квадратичною формою, що встановлюється за корінням характеристичного рівняння:

Коріння цього рівняння є власними значеннями речової симетричної матриці і, як наслідок цього, завжди речові:

Криві другого порядку класифікуються на невироджені криві та вироджені.

Доведено, що крива 2-го порядку, яка визначається цим рівнянням, належить до одного з наступних типів: еліпс, гіпербола, парабола, пара прямих (перетинаються, паралельних або збігаються), точка, порожня безліч.

Іншими словами, для кожної кривої 2-го порядку (для кожного рівняння) існує така система координат, в якій рівняння кривої має вигляд:

другого

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок площини, званих фокусами еліпса, є постійна величина. Відрізки, що з'єднують точку еліпса з фокусами, називаються радіальними фокальними точки.

Якщо еліпс описується канонічним рівнянням

де a > 0 , b > 0, a > b > 0 - велика і мала півосі еліпса, то фокуси еліпса розташовані симетрично на осі абсцис і мають координати (-c, 0) і (c, 0), де

Розмір e = c/a називається ексцентриситетом еліпса.

криві

За визначенням еліпса r1 + r2 = 2a, r1 та r2 − фокальні радіуси, їх довжини обчислюються за формулами

Якщо фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло.

Гіперболою називається крива другого порядку, яка у деякій декартовій системі координат описується рівнянням

де a > 0, b > 0 - параметригіперболи.

Це рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи, а система координат, у якій гіпербола описується канонічним рівнянням, називається канонічною.

У канонічній системі осі координат є осями симетрії гіперболи, а початок координат її центром симетрії.

Точки перетину гіперболи з віссю OX (±a, 0) називаються вершинами гіперболи.

Із віссю OY гіпербола не перетинається.

Відрізки a та b називаються півосями гіперболи.

криві

Прямі ay − bx = 0 і ay + bx = 0 - асимптоти гіперболи, при видаленні точки гіпербли в нескінченність, відповідна гілка гіперболи наближається до однієї з асимптот.

Рівняння визначає гіперболу, вершини якої лежать на осі OY у точках (0, ± b).

другого

Така гіпербола називається сполученою до гіперболи її асимптоти — ті прямі ay − bx = 0 і ay + bx = 0. Говорять про пару сполучених гіпербол.

Параболою називається крива другого порядку, яка у деякій декартовій системі координат описується рівнянням

де p & gt; 0 — параметр параболи.

Таке рівняння називається канонічним рівнянням параболи, а система координат, у якій парабола описується канонічним рівнянням, називається канонічною.

У канонічній системі вісь абсцис є віссю симетрії параболи, а початок координат її вершиною.

другого

Рівняння y2 = −2 px, x2 = 2 py, та x2 = −2 py, p > 0, в тій же канонічній системі координат також описують параболи:

другого

2. Теореми, пов'язані з кривими другого порядку

Теорема Паскамля - ​​теорема проективної геометрії, яка свідчить, що:

Якщо шестикутник вписаний в коло або будь-який інший конічний перетин (еліпс, параболу, гіперболу,навіть пару прямих), то точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній прямій. Теорема Паскаля двоїста до теореми Бріаншона.

Теорема Бріаншона є класичною теоремою проектної геометрії. Вона сформулюється так:

Якщо шестикутник описаний біля конічного перерізу, три діагоналі, що з'єднують протилежні вершини цього шестикутника, проходять через одну точку.

Зокрема, у виродженому випадку:

Якщо сторони шестикутника проходять по черзі через дві дані точки, три діагоналі, що з'єднують його протилежні вершини, проходять через одну точку.

Теорема Бріаншона двоїста до теореми Паскаля, та її вироджений випадок двоїстий до теореми Паппа.

1. Корн Г., Корн Т. Криві другого порядку (конічні перерізи) // Довідник з математики. - 4-те видання. - М: Наука, 1978. - С. 64-69.

2. Корн Р., Корн Т. 2.4-5. Характеристична квадратична форма та характеристичне рівняння // Довідник з математики. - 4-те видання. - М: Наука, 1978. - С. 64.

3. В.А. Ільїн, Е.Г. Позняк. Аналітична геометрія, гол. 6. М: "Наука", 1988.