Матриця щільності
Матриця щільності(оператор щільності, оператор матриця щільності, статистичний оператор) - один із способів опису стану квантовомеханічної системи. На відміну від хвильової функції, придатної лише описи чистих станів, оператор щільності однаковою мірою може задавати як чисті, і змішані стану. Заснований на понятті оператора щільності формалізм був запропонований незалежно Л. Д. Ландау [1] та Дж. фон Нейманом [2] у 1927 році [3] , та Ф. Блохом [4] у 1946 році.
Зміст
Оператор щільності - це невід'ємний самосполучений оператор з одиничним слідом, що діє в гільбертовому сепарабельному просторі. Рівність сліду одиниці відповідає одиничному нормуванню повної ймовірності цьому просторі станів.
що дозволяє його уявити у вигляді
Змішаний стан, що відповідає випадку, коли система знаходиться в кожному із взаємно ортогональних станів j ⟩ \rangle > із ймовірністю p j > , описується оператором густини виду
⟨ A ⟩ = Tr ( A ρ ) (A\rho )> .
Нескладно бачити, що звичайне правило знаходження середньої від спостережуваної для чистих станів є окремим випадком цієї формули.
- Похідна за часом від оператора щільності гамільтонової квантової системи виражається через комутатор з гамільтоніаном у вигляді рівняння ∂ ρ ∂ t = 1 i ℏ [ H , ρ ] >=>[>,\rho ]>
- Слід матриці щільності дорівнює одиниці з нормування повної ймовірності: Tr ( ρ ) = 1 (\rho )=1>
- Слід квадрата матриці щільності дорівнює одиниці для чистих станів і завжди менше одиниці для змішаних: Tr ( ρ 2 ) 1 (\rho ^) і Tr ( ρ 2 ) = 1 ⟺ ∃ ψ ⟩ : ρ =ψ ⟩ ⟨ ψ (\rho ^)=1\iff \exists \psi \rangle :\rho =\psi \rangle \langle \psi >
Використання оператора щільності стає необхідним, якщо стан квантовомеханічної системи з тих чи інших причин не може розглядатися як чистий. Таке становище має місце, зокрема, у квантовій статистиці. При цьому оператор щільності виявляється природним аналогом, що фігурує в класичній статистичній механіці функції розподілу щільності у фазовому просторі. Крім того, існує трактування квантовомеханічної процедури вимірювання як переходу з вихідного чистого стану ψ у змішаний стан
Останнє є окремим випадком опису відкритих квантових систем, до яких належать зокрема системи, схильні до спостереження ззовні. Взагалі кажучи, формалізм опису відкритих систем, що взаємодіють з навколишнім середовищем, за допомогою матриці щільності корисний при дослідженні явища декогеренції, коли стан системи не може розглядатися як чисте, а саме явище призводить до розпаду позадіагональних матричних елементів оператора щільності (в базисі власних значень оператора взаємодії) і, відповідно, до переходу системи до змішаного стану.