Механіка крутильних вагів • Ігор Іванов • Науково-популярні завдання на «Елементах» • Фізика
Одне з важливих завдань сучасної експериментальної фізики — акуратний вимір фундаментальних констант. Фізиків цікавить, по-перше, чисельне значення цих величин, оскільки вони входять до величезної кількості фізичних формул і, отже, визначають наше розуміння різних ефектів. А по-друге, дуже корисно перевіряти, чи дійсно вони залишаються постійними в усіх мислимих умовах або можуть якось змінюватися.
Гравітаційна постійнаG— це, мабуть, одна з найподатливіших для точного лабораторного виміру фундаментальних констант. Підкреслимо: йдеться не про прискорення вільного падінняg, яке характеризує тяжіння тіл до Землі, а про фундаментальну константуG, яка входить до закону всесвітнього тяжіння Ньютона. Вперше гравітаційне тяжіння між предметами «людських» розмірів зареєстрував і виміряв Генрі Кавендіш у 1798 році, і з того часу подібних експериментів поставлено вже безліч. І незважаючи на це, точність виміру гравітаційної постійної залишається дуже скромною; відносна похибка зараз становить приблизно 10 -4 і не покращала за останні 30 років. Більше того, в останні роки тут з'явилося кілька результатів, що суперечать один одному, див. подробиці в нашій новині Нові виміри гравітаційної постійної ще більше заплутують ситуацію.
Мал. 1.Модель крутильних ваг, за допомогою яких Генрі Кавендіш в 1798 вперше виміряв гравітаційне тяжіння між лабораторними тілами. Більшість сучасних експериментів щодо вимірювання гравітаційної постійної використовують удосконалені варіанти цих ваг. Зображення із сайту www.ssplprints.com
У більшості цих експериментів використовуються установки, дужекрутильні ваги, що нагадують, — той самий прилад, за допомогою якого Кавендіш виконав свої вимірювання (рис. 1). Вони легке коромисло з двома вантажами на краях підвішено на нитки за середину, а збоку до вантажів підносять два масивних тіла. Тіла притягуються один до одного за рахунок гравітації, і через це ваги крутильні трохи повертаються. Вимірюючи кут повороту і знаючи маси тіл, всі відстані та пружні властивості нитки, можна обчислити постійну гравітаційну. (Існує й інший варіант цього експерименту: крутильні ваги вільно обертаються туди-сюди, а наявність тіл, що гравітують, впливає на період обертання, але ми не будемо на ньому зупинятися.)
Мал. 2.Крутильні ваги на двох нитках; вид збоку (ліво) і вид зверху (справа).Хрестикипоказують точки кріплення ниток
У цій задачі пропонується розрахувати простий варіант крутильних ваг, підвішених не на одній, а на двох нитках (рис. 2). Це завдання познайомить із деякими особливостями механіки крутильних терезів, які відіграють роль у сучасних експериментах.
Легкий стрижень довжиниLпідвішений на двох однакових тонких і нерозтяжних нитках довжиниl, які йдуть паралельно одне одному з відривомd. На кінцях стрижня закріплені два однакові компактні вантажі масиm. Центр мас цієї гантельки знаходиться посередині між нитками. З двох боків до цих вантажів підносять два інших однакових вантажу масиMкожен; відстані між центрами мас у кожній парі вантажів дорівнюєR, і воно набагато меншеL. Нагадаємо, що слова «легкий», «тонкий», «компактний» тощо у таких завданнях означають, що відповідні розміри або маси зневажливо малі. Крім того, заздалегідь наголосимо, що всі кути повороту будуть маленькі.
Обчисліть, на який кут повернеться гантелька в горизонтальній площині за рахунок гравітаційного тяжіння між вантажами.Оцінітькут повороту для типових значень параметрів:L=l= 1м,d= 2мм,M= 1 кг,R= 10 см.
Гравітаційну взаємодію між вантажами легко обчислити; складніше порахувати силу, що повертає, яка протидіє гравітаційному тяжінню. Тут можна скористатися двома методами розрахунку, відповідно до того, який здається вам зручнішим.
Перший використовує безпосередньо моменти зусиль. З'ясуйте, що станеться з нитками при повороті гантельки на маленький кут α, які виникнуть горизонтальні сили в місцях кріплення ниток до стрижня і який момент вони створять, і потім з'ясуйте, коли він збалансує момент сил тяжіння.
Другий метод – енергетичний. Доведіть, що при повороті на деякий кут гантельки також піднімається в поле тяжіння. Знайдіть потенційну енергію цього підйому, а також потенційну енергію тяжіння вантажів один до одного. Оскільки зміщення вантажів за рахунок повороту буде набагато меншеR, цю потенційну енергію можна обчислювати за тією ж простою формулою, за якою обчислюється потенційна енергія тіла в Землі: вона лінійно зростає з видаленням від тіла. Після цього з'ясуйте, який кут повороту забезпечує мінімум сумарної потенційної енергії.
Мал. 3.Поворот гантельки на нерозтяжних нитках за рахунок гравітаційного тяжіння до нерухомих вантажів; вид зверху (ліво) і вид з іншого боку (справа). Величина кутів відхилення цих малюнках сильно перебільшена. На малюнку праворуч дальні грузик і нитка показані пунктиром
Рішення через моменти сил.Сила гравітаційного тяжіння вкожній парі вантажів дорівнює. ОскількиRнабагато меншеL, взаємодію тіл з далекими вантажами можна знехтувати. Для того, щоб знайти повертальну силу підвісу, порівняємо вихідне та нове положення гантельки (рис. 3). Вид зверху (рис. 3, зліва) показує, що при повороті на кут точки точки кріплення ниток до стрижня змістилися в горизонтальній площині на відстань Δx= αd/2 (це ледве видиме на малюнку усунення хрестиків, які показують точки кріплення ниток). Оскільки верхні кінці ниток зафіксовані, то виходить, що кожна нитка відхилилася від вертикалі на кут .
Підкреслимо, що всі кути тут виражаються через міру; саме в цих одиницях для малих кутів справедливе наближення, що синус або тангенс кута приблизно дорівнює самому куту.
Через кожну нитку передається сила, що дорівнює силі тяжкості одного вантажу,mg. А оскільки нитка нахилилася, то у цієї сили з'являється компонент у горизонтальній площині: .
Отже, обидва типи знайдено, залишилося примножити їх на плече дії цих сил і прирівняти моменти сил (умова рівноваги щодо обертання): .
Підставляючи всі вирази, знаходимо рівноважний кут повороту.
Зауважимо, що маса вантажів, встановлених на гантельці, скоротилася. Перший множник тут - це дуже маленька величина, що показує відношення сил гравітаційного тяжіння з боку вантажу та Землі. Другий множник, навпаки, великий, це чисто геометричний ефект, який робить поворот гантельки помітним.
Рішення через потенційні енергії.Погляньмо на рис. 3, праворуч, де зміщення гантельки показано з іншого боку; промінь зору тут йде вздовж первісного спрямування стрижня. Через те, що нитки нерозтяжні, їх довжина залишається незмінною. Томуточки кріплення нитки до стрижня зміщуються не строго горизонтально, а йдуть дугою, отже, вони трохи піднімаються. Якщо довжина нитки дорівнюєl, цей підйом обчислюється як і, як й у звичайного математичного маятника: .
Зміна потенційної енергії гантельки за рахунок підйому в полі земного тяжіння дорівнює.
З іншого боку, поворот гантельки зближує кожну пару вантажів на відстань ΔR= αL/2 і, як наслідок, змінює потенційну енергію гравітаційного тяжіння у кожній парі на величину –F0ΔR. Значить, потенційна енергія взаємодії всієї гантельки з нерухомими вантажами дорівнює ΔE0 = –F0αL.
Зміна повної потенційної енергії при повороті гантельки це просто їхня сума. З цією сумою можна зробити перетворення під назвою «виділення повного квадрата»:
Останнє доданок тут — це просто константа, вона від кута повороту залежить. Тому мінімум потенційної енергії досягається, коли вираз у дужках занулюється. Це і дає відповідь, яка збігається з отриманим раніше.
Якщо підставити числа, то кут повороту вийде приблизно 0,33 мілірадіана, або приблизноодна кутова хвилина; кінці метрового стрижня зрушаться за такого повороту всього на 1/6 міліметра. Якщо ж ми хочемо виміряти постійну гравітаційну з відносною похибкою 10 -4 , то нам доведеться не просто зареєструвати цей поворот, а виміряти його як мінімум з такою ж точністю, тобто на рівні однієї сотої частки кутової секунди!
Післямова
Це завдання не тільки дає уявлення про те, наскільки тонкими можуть бути експерименти з вимірювання постійної гравітаційної, але й ілюструє одну технічну особливість тієї роботи французькихдослідників, про яку йшлося у нашій новині.
Зверніть знову увагу на отриману відповідь. Залежність від відстані між двома нитками з'являється у формулі у знаменнику і до того ж у квадраті. Тому виникає природне бажання збільшити кут відхилення з допомогою зменшенняd. Більше того, можна взагалі взяти одну тонку нитку, яка ще тримає кілограмову масу, і підвісити на неї гантельку рівно за центр тяжіння. Власне, перші експерименти з крутильними вагами, та й більшість нинішніх, саме так і ставляться.
Однак як тільки ми переходимо від двох ниток до однієї, відразу змінюється механіка сили, що повертає. У нашій задачі ми могли вважати нитки нерозтяжними, оскільки момент сил, що повертає, виникав чистогеометрично, за рахунок ненульового плеча сил. У разі однієї нитки так робити не можна, це вже буде нефізичне наближення. Тут сила, що повертає, виникає саме за рахунок скручування, деформації цієї нитки. Це означає, що момент, що повертає, сил визначається механічними властивостями матеріалу, з якого нитка зроблена. І ось ця чутливість до механіки матеріалів є джерелом занепокоєння серед експериментаторів, які займаються гравіметрією з крутильними вагами.
По-перше, ці властивості важко точно виміряти, адже пружність матеріалів не обмежується простим законом Гука. По-друге, ці пружні властивості матеріалів можуть змінюватися з часом або залежати від зовнішніх умов, особливо якщо нитка дуже тонка або якщо крутильний маятник коливається з великою амплітудою. Щоправда, тут є одна маленька хитрість: не обчислювати силу, що повертає з властивостей матеріалу, а виміряти період вільних коливань такого крутильного маятника, і висловити повертаючу силучерез нього, але, на жаль, механіка деформованого матеріалу втручається і тут.