Метод Гауса-Жордана

Мета роботи: Сформувати у студентів уявлення про прямі та ітераційні методи вирішення систем лінійних рівнянь, виробити вміння складати та застосовувати алгоритми та програми для вирішення систем рівнянь, дати навички у використанні програмних засобів для вирішення систем рівнянь.

методом Гауса-Жордана з точністю

1. Вводимо матрицю коефіцієнтів при невідомих А і матрицю вільних коефіцієнтів.

2. Задаємо функцію, що реалізує метод Гаусса-Жордана. Аргументи функції: А – матриця коефіцієнтів за невідомих, B – матриця вільних коефіцієнтів.

2-ий спосіб: описаний на лекції, застосувати його до цього завдання. Порівняти відповіді.

Також перевірити відповіді за допомогою вбудованих функцій Mathcad.

2.

Відповідь:

  1. Метод простої ітерації
Вирішити систему

методом простої ітерації з точністю.

1. Наводимо вихідну систему до виду з переважаючими діагональними коефіцієнтами.

Для цього, наприклад, перше рівняння запишемо третім, третє рівняння помножимо на 2, віднімемо друге і запишемо на першому місці, а друге рівняння помножимо на 2, віднімемо перше і запишемо на другому місці.

Коефіцієнти, розташовані по діагоналі та підкреслені, є переважаючими по рядку.

2. Складаємо матриці коефіцієнтів при невідомих у лівій частині та вільних членів.

Отримуємо перетворену систему.

Розділимо для цього кожне рівняння на свій діагональний коефіцієнт та висловимо з кожного рівняння діагональне невідоме

Для забезпечення умов збіжності потрібно отримати систему так, щоб коефіцієнти у правій частині системи були істотно менше одиниці.

3. Перевіряємо одну з умов збіжностіітераційного процесу Встановлюватимемо збіжність, тобто. «зануримо» систему у простір із однією з трьох метрик: .

У пакеті Mathcad коефіцієнти стиснення можна визначити за допомогою функцій

, ,

відповідно для ()

Також коефіцієнт стиснення можна визначити за допомогою наведених нижче формул

Можна побудувати функцію, яка автоматично обчислить значення коефіцієнтів для кожного з трьох метричних просторів

Зауважимо, що це коефіцієнти менше одиниці, отже систему можна «занурити» у простір будь-який з метрик. Зупинимося на просторі з метрикою. Отже, ітераційний процес сходиться, причому .

5. Знаходимо критерій досягнення заданої точності. Досягнення точності наближення треба шукати до того часу, поки виконуватиметься нерівність , тобто. відстань між двома точками має перевищувати числаЕ.

6. Обчислюємо значення ітераційної послідовності

7. Для визначення, яке наближення буде рішенням, необхідно знайти відстань між двома сусідніми наближеннями за метрикою (бо вибрано цей простір).

Отримане значення суми різниць коефіцієнтів при невідомих, рівне

2,30610 -4 Т , щоб отримати систему виду (Для цього розділити коефіцієнти кожного рядка матриці на відповідний роздільний елемент рядка). Виконати необхідні перетворення для коефіцієнтів і надалі до вже перетвореної матриці застосувати функцію

Деn- число кроків, - задана точність,a,b- матриці (перетворені),otvet- змінна, за якою функціяZeidelвидає коріння рівняння, будь-яке інше її значення - визначає безліч кроків розв'язання.

Контрольні питання.

  1. Які ви знаєте групи методів розв'язання систем лінійних рівнянь ізnневідомими?
  2. Які методи належать до прямих методів розв'язання систем лінійних рівняньnневідомими?
  3. Які методи належать до наближених методів розв'язання систем лінійних рівняньnневідомими?
  4. Що означає вирішити систему лінійних рівняньnневідомими?
  5. У чому полягає суть методу Гауса-Жордана для вирішення систем рівнянь?
  6. Як формулюється правило прямокутника на вирішення систем методом Гаусса-Жордана?
  7. Що таке метрика?
  8. Що таке стискаюче відображення?
  9. У чому полягає суть методу простої ітерації на вирішення систем рівнянь?
  10. Яку систему можна вирішувати методом простої ітерації?
  11. Як привести систему до виду з переважаючими діагональними коефіцієнтами?
  12. Як знаходиться відстань між двома наближеннями у просторі з метрикою?
  13. Які достатні умови збіжності ітераційного процесу під час вирішення систем?
  14. Як знайти коефіцієнт стиснення?
  15. Яка умова є критерієм досягнення заданої точності при вирішенні систем лінійних рівнянь методом простої ітерації, методом Зейделя?
  16. Як будується ітераційна послідовність значень під час вирішення систем рівнянь методом простої ітерації, методом Зейделя?

Завдання до лабораторної роботи №4