Методи прямокутників та трапецій
Матеріал із MachineLearning.
Зміст
Завдання чисельного інтегрування полягає у знаходженні наближеного значення інтегралу
де - задана та інтегрована на відрізку функція.
Якщо один або обидві межі рівні або , то за допомогою трюків із заміною змінних можна здійснити перехід до кінцевого відрізка від променя або всієї числової прямої.
Введемо на сітку зі змінним кроком, тобто. безліч точок , і представимо інтеграл (1) у вигляді суми інтегралів за частковими відрізками:
Для побудови формули чисельного інтегрування на всьому відрізку достатньо побудувати квадратурну формулу для інтегралу
на частковому відрізку та скористатися властивістю (3).
Метод прямокутників
Формула прямокутників на частковому відрізку та її похибка
Замінимо інтеграл (3) виразом , де
Тоді отримаємо формулу
яка називаєтьсяформулою прямокутників на частковому відрізку
Похибка методу (5) визначається величиною
яку легко оцінити за допомогою формули Тейлора. Дійсно, запишемо у вигляді
та скористаємося розкладанням
де. Тоді з (6) отримаємо
Позначаючи , оцінимо так:
Таким чином, для похибки формули прямокутників на частковому відрізку справедлива оцінка
тобто. формула має похибку при .
Зауважимо, що оцінка (7) є неулучшаемой, тобто. існує функція , на яку (7) виконується зі знаком рівності. Дійсно, для маємо і
Складова формула прямокутників та її похибка
Підсумовуючи рівності (5) по від до, отримаємо складову формулу прямокутників.
Похибка цієї формули
дорівнює сумі похибок за всіма частковими відрізками,
Звідси,позначаючи , отримаємо
тобто. похибка формули прямокутників на всьому відрізку є величина.
Бачимо, що квадратурна формула має другий порядок точності.
Застосовність методу до функції, заданої в кінцевому числі точок
Зауважимо, що метод прямокутників у тому вигляді, в якому він описаний вище, не застосуємо в загальному випадку до функцій, значення яких ми знаємо в кінцевому числі точок, оскільки, наприклад, ми не завжди можемо розбити відрізок інтегрування на підвідрізки, серединами яких є точки, у яких відомо значення функції.
Метод трапецій
Формула трапецій на частковому відрізку та її похибка
На частковому відрізку ця формула має вигляд
і виходить шляхом заміни підінтегральної функції інтерполяційним багаточленом першого ступеня, постійним вузлами, тобто. функцією
Для оцінки похибки досить згадати, що
Оцінка (11) неулучшаема, тому що в ній досягається рівність, наприклад, для .
Складова формула трапецій та її похибка
Складна формула трапеціймає вигляд
Похибка цієї формули оцінюється так:
Таким чином, формула трапецій має, так само як і формула прямокутників, другий порядок точності, але її похибка оцінюється величиною в два рази більшою.
Застосовність методу до функції, заданої в кінцевому числі точок
На відміну від методу прямокутників, метод трапецій застосуємо до функцій, заданих у кінцевому числі точок, тому що ми завжди можемо взяти в якості вузлів інтегрування дані точки.
Числовий приклад
Обчислимо за формулами прямокутників та трапецій при інтегралі
В даному випадку
Знаючи точну відповідь (14), знайдемо похибки
Друга похіднафункції відрізку негативна, її модуль вбирається у одиниці: . Розмір похибок (15) задовольняє нерівностям (9) і (13):
Рекомендації програмісту
Оцінка похибки
Величина похибки чисельного інтегрування залежить як від кроку сітки, і від гладкості підінтегральної функції. Наприклад, в оцінку (11), поряд з входить величина
яка може сильно змінюватися від точки до точки і взагалі кажучи, заздалегідь невідома. Якщо величина похибки велика, її можна зменшити шляхом подрібнення сітки цьому відрізку . І тому передусім треба вміти апостеріорно, тобто. після проведення розрахунку оцінювати похибку.
Апостеріорну оцінку похибки можна здійснитиметодом Рунге. Нехай якась квадратурна формула має частковому відрізку порядок точності , тобто. . Тоді
Нехай використовується складова квадратурна формула
де - квадратурна сума на частковому відрізку, причому на кожному частковому відрізку використовується та сама квадратурна формула (наприклад, формула трапецій). Проведемо на кожному частковому відрізку всі обчислення двічі, один раз - з кроком і вдруге - з кроком і оцінимо похибку за правилом Рунґе (17):
Приклад програми мовою C++
У програмі функція, що інтегрується, задається у функції. У цьому прикладі інтегрується логарифм і ця функція виглядає так:
Функція реалізує метод прямокутників, а – метод трапецій.
Ці функції мають такі параметри:
Висновок
Методи прямокутників і трапецій є одними з найпростіших методів інтегрування (запрограмувати їх не складає особливих труднощів). Але ці методи мають лише другий порядок точності, тоді як є методи вищих порядків.
Якщо ж порівнювати ці дваметоду між собою, то метод прямокутників, який відноситься до методів Гауса - Крістоффеля, є точнішим за метод трапецій, що відноситься до методів Ньютона - Котеса. Але в той же час метод трапецій може застосовуватися з довільним кроком, на відміну від методу прямокутників, який, як ми побачили, не застосовується, наприклад, до функцій, заданих у кінцевому числі точок.