Метризований простір, Математика, FANDOM powered by Wikia

Метризований простір- топологічний простір, гомеоморфний деякому метричному простору. Інакше висловлюючись, простір, топологія якого породжується деякою метрикою.

Якщо така метрика існує, то вона не єдина — крім тривіальних випадків: коли простір порожній або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного простору, що метризується, породжується деякою обмеженою метрикою.

Необхідні умови метризування

У просторі, що метризується, виконуються сильні аксіоми відокремленості: вони нормальні і навіть колективно нормальні.
Кожен метризований простір паракомпактний.
Всі простори, що метризуються, задовольняють першій аксіомі рахунків.
Для будь-якого простору, що метризується, збігаються число Сусліна, число Лінделефа, щільність, протяжність, вага.

Достатня умова метризуемості

Еквівалентні умови метризування

Перший загальний критерій метризованості простору був запропонований в 1923 П. С. Олександровим та П. С. Урисона. На його основі були вироблені два наступні досконаліші критерії метризованості:

простір метризується в тому і тільки в тому випадку, коли воно колективно нормально і має лічильне подрібнення безліччю відкритих покриттів;
(Критерій Стоуна - Архангельського) Простір метризується, в тому і тільки в тому випадку, коли воно має лічильну фундаментальну безліч відкритих покриттів і задовольняє $ T_1 $ -аксіомі відокремленості. При цьому безліч відкритих покриттів простору $ X $ називається фундаментальним, якщо для кожної точки $ x \ in X $ кожної її околиці $ U_x $ знайдуться покриття $ \ mathcal P $ іоколиця $ O_x $ точки $ x $ такі, що кожен елемент покриття $ \mathcal P $ перетинається з $ O_x $ міститься в $ U_x $ .

На іншій важливій концепції – локальній кінцівці – засновані загальні метризаційні критерії.

Критерій Нагати - Смирнова: простір $ X $ метризується в тому і тільки в тому випадку, якщо воно регулярно і володіє базою, що розпадається на лічильне безліч локально кінцевих сімейств множин.

Критерій Бінга аналогічний, але в ньому замість локально кінцевих фігурують дискретні сімейства множин. Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризування пов'язані з поняттями рівномірної бази та регулярної бази. База $ \mathcal B $ простору $ X $ називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки $ x\in X $ і будь-якої її околиці $ O_x $ знайдеться околиця $ U_x $ цієї точки така, що кількість елементів бази $ \mathcal B $ , що перетинають одночасно $ U_x $ і доповнення до $ O_x $ , звичайно (відповідно, якщо безліч елементів $ \ Omega \ in \ mathcal B $ таких що $ \ Omega \ ni x $ $ \ Omega \ not \ subset O_x $ звичайно ).

Простір $ X $ метризується тоді і тільки тоді, коли воно колективно нормально і має рівномірну базу.
Для метризованості $T_1$-простору необхідно і достатньо, щоб воно мало регулярну базу.

Приватні випадки

Метризаційні критерії досягають простоти у низці спеціальних класів просторів. Так, для метризування компакту $ X $ будь-яка з наступних трьох умов необхідна і достатньо:

X має лічильну базу;
X має точково-лічильну базу;
у X є лічильна мережа;

Для метризованості простору топологічної групи необхідно ідостатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома рахунків - причому тоді простір метризується інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).

Про повноту Правити

Не всякий метризований простір метризується повною метрикою; таке, наприклад, простір раціональних чисел. Простір метризується повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо воно метризується і є безліччю типу $ G_\delta $ в деякому компакті, що містить його. Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої рахункової родини всюди щільних відкритих множин скрізь щільно.

Варіації та узагальнення

До просторів, що метризуються, найбільш близькі за властивостями морівські простори — цілком регулярні простори, що володіють рахунковим сімейством відкритих покриттів, що подрібнюється, і мереживні простори.

Широкий спектр узагальнень концепції простору, що метризується, виходить, якщо варіювати аксіоми метрики, послаблюючи їх у тому чи іншому відношенні і розглядаючи породжені такими «метриками» топології. На цьому шляху виходять простори, що симетризуються — шляхом відмови від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і морівські простори. Інше важливе узагальнення концепції метризованості пов'язане з розглядом «метрик» зі значеннями в напівполях та інших утвореннях алгебри загальної природи.