Міра підграфіка
У цьому параграфі буде надано геометричний зміст інтеграла Лебега.
Якщо [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math] , то підграфік називається циліндром [math] \mathbb R^ [/math] .
Доказ ведемо від простого до складного, застосовується критерій [math] \mu^*[/math]-вимірності.
1) Нехай [math] E [/math] - паралелепіпед (комірка), тоді [math] G [/math] теж комірка, формула виконується.
2) Нехай [math] E [/math] - відкрите безліч. Його можна записати у формі лічильного об'єднання диз'юнктних осередків:
[math] E = \ bigcup \ limits_n \ Delta_n [/math] .
Нехай [math] G_n = \ Delta_n \ times [0, c] [/ math];
[math] G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n [/math] - теж диз'юнктне об'єднання.
[math] G_n [/math] - вимірні, отже, [math] G [/math] - вимірно.
За сигма-адитивності заходи, [math] \lambda_ G = \sum\limits_m \lambda_ G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E [/math
3) [math] E [/math] - обмежена замкнута множина.
Візьмемо якийсь відкритий паралелепіпед [math] \ Delta [/ math] , такий, що [ math] E \ subset \ Delta [ / math] .
[math] \overline E = \Delta \setminus E [/math] - відкрито - можна застосувати пункт 2: [math] \lambda_ \overline G = c \lambda_n \overline E [/math] .
[math] \lambda_ (\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta [/math]
[math] E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_ G = \lambda_ (\Delta \times [0, c]) - \lambda_(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \ lambda_n E [/ math] .
4) [math] E [/math] - обмежене та виміряне.
Для довільного [math] \varepsilon \gt 0 [/math] підбираємо [math] F_\varepsilon [/math] -Тема [math] G_\varepsilon [/math] — Тема:
[math] F_\item psilon \subset E \subset G_\item psilon, \lambda_n G_\item psilon - \lambda_n F_\item psilon \lt \item psilon [/math] .
[math] F_\varepsilon\times[0,c]\subset G\subset G_\varepsilon\times[0,c][/math] .
[ математика ] \lambda_(G_\varepsilon\times[0,c]) - \lambda_(F_\varepsilon\times[0,c]) = c(\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) \lt c \varepsilon[/math] .
[math] \varepsilon [/math] — розмір, розмір, розмір [math] \mu^* [/math] -вимірювання, [math] G [/math] — розмір римо. Переглянути більше фотографій:
[math] \lambda_F_\varepsilon\le \lambda_G \le \lambda_G_\varepsilon [/math]
Таким чином, від [math] \lambda_F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon [/math] до [math] \lambda_ F_\varepsilon \le c \lambda_ E \le \lambda_ G_\ varepsilon [ /math] .
Розмір [math] \varepsilon [/math] у кулі, у кулі в [math] \lambda_ G = c \lambda_n E [/math] .
5) [math] E [/math] — Легка математика.
Якщо ви хочете це зробити, тоді [math] E = \bigcup\limits_^ E_m [/math] — обчисліть його сніжинка сніжинка сніжинка сніжинка сніжинки безліч.
Цліндр[math] G = \bigcup\limits_^G_m[/math], де[math] G_m=E_m\times[0,c][/math]
Крім того, [math] \lambda_ G_m = c \lambda_n E_m [/math] , а інакше [math] \lambda_ G = \sum\limits_m \lambda_ G_m = c \sum\limits_m \lambda_n E_m = c \lambda_n E [ /math]
6) Від’ємне значення [math] c = 0 [/math] .
👇 [math] \lambda_n E \lt + \infty [/math] , ​vќ [math] G' [/math] в ​” [/math] о сніг, а сніг снігзаввишки [math] c'\gt 0 [/math] . З цього отримуємо, що [math] G [/math] виміряємо та його міра - нульова.
В іншому випадку, представимо E у вигляді лічильного об'єднання множин з кінцевим заходом. Тоді [math] G = \bigcup\limits_^ G_m [/math] , де [math] G_m [/math] - циліндр з основою [math] E_m [/math] і висотою 0. За доведеним, [math] \lambda_ G_m = 0[/math], а тоді і [math] \lambda_ G = 0[/math].
0) Базовим випадком буде той, коли справа зводиться до сум Лебега-Дарбу.
[math] f [/math] - обмежена функція, [math] E [/math] - вимірна множина кінцевої міри. [math] f [/math] - вимірна, отже, інтеграл Лебег існує: [math] \exists \int\limits_E f d \lambda_n [/math]
Розглянемо [math] \tau: E = \bigcup\limits_^p e_j [/math] - диз'юнктні.
[math] m_j = \inf\limits_ f(x), M_j = \sup\limits_ f(x) [/math]
[math] \underline s (\tau) = \sum\limits_^p m_j \lambda_n e_j [/math] , [math] \overline S (\tau) = \sum\limits_^p M_j \lambda_n e_j [/math ]
[math] \underline G_j = e_j \times [0, m_j] [/math] , [math] \overline G_j = e_j \times [0, M_j] [/math] - циліндри з основою [math] e_j [/math ] та висотами [math] m_j, M_j [/math] .
Уявімо [math] \underline G[/math] як диз'юнктне об'єднання: [math] \underline G = \bigcup_^p \underline G_j [/math] . Аналогічно, [math] \overline G \bigcup_^p \overline G_j [/math] .
Зрозуміло, що [math] \underline G \subset G \subset \overline G [/math] .
[math] \lambda_ \underline G(\tau) = \sum\limits_^p \lambda_ \underline G_j = \sum\limits_^p m_j \lambda_n e_j = \underline S(\tau) [/math]
[math] \lambda_ \overline G(\tau) = \sum\limits_^p \lambda_ \overline G_j = \sum\limits_^p M_j \lambda_n e_j = \overline S(\tau) [/math]
Різниця [math] \lambda_ \overline G(\tau) - \lambda_ \underline G(\tau) = \overline S(\tau) - \underline S(\tau) [/math] як завгодно мала в силу існування інтеграла за рахунок вибору розбиття [math] \tau[/math].
За критерієм [math] \mu^* [/math] -вимірюваності, підграфік [math] G [/math] виявляється вимірним і [math] \lambda_ \underline G(\tau) = \underline s(\tau) \le \lambda_ G(f) \le \lambda_ \overline G(\tau) = \overline S(\tau)[/math]
У цій нерівності розбиття — будь-яке. Між парою сум Лебега-Дарбу можна вставити тільки інтеграл, отже, [math] \lambda_ G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] . Базовий випадок розібрано.
1) [math] \lambda_n E = + \infty [/math] , [math] f [/math] - обмежена на [math] E [/math] . (По сигма-кінцевості міри?) Представимо E як об'єднання зростаючої послідовності множин [math] E_m [/math] з кінцевою мірою, нехай [math] G_m [/math] - підграфік звуження f на множині [math] E_m [/math] . [math] \bigcup\limits_m G_m = G [/math] - вимірно.
[math] \lambda_ G = \lim \lambda_ G_m = \lim \int\limits_ f d \lambda_n = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] (за сигма-адитивністю інтеграла).
2) Якщо [math] f [/math] не обмежена на [math] E [/math] , то вибудовуємо так звані зрізки:
[math] f_m(x) = \begin f(x) & f(x) \le m \m, & f(x) \gt m \end [/math]
[math] f_m(x) [/math] - вимірна, [math] f_m(x) \xrightarrow[m \to \infty]<> f(x) [/math]
[math] f_m(x) [/math] - зростає, [math] f_m(x) \le f_ (x) [/math]
За теоремою Леві [math] \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n [/math]
Нехай [math] G_m [/math] - підграфік зрізання [math] f_m [/math]. Підграфіки зрізок утворюють зростаючу послідовність і[math] G = \bigcup\limits_m G_m[/math] .
Оскільки зрізки — функція обмежена, з першого пункту: [math] \lambda_ G_m = \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n [/math]
[math] \lambda_ G = \lim\limits_m \lambda_ G_m = \int\limits_E f d \lambda_n [/math] . Формула виведена у випадку.