Моделювання - Стор 5
експерименту. Такий експеримент називається дробовим факторним експе-
риментом (ДФЕ), а таблиця його плану - дробовою реплікою [4, 10, 11, 13 та ін].
Зменшення кількості дослідів дозволяє знизити витрати часу, коштів, матеріалів для проведення та обробку експерименту.
4.3. Проведення експерименту
Перед проведенням експерименту необхідно з'ясувати таке:
1) чи можна встановити обрані рівні вхідних факторів на обладнанні, що використовується для експерименту, і утримувати їх під час досвіду;
2) чи можливе виникнення негативних наслідків від реалізації обраних поєднань рівнів факторів;
3) чи можливе проведення паралельних дослідів під час експерименту
4) коли були перевірені та відкалібровані вимірювальні прилади. Паралельними називаються досліди, в яких рівні факторів по-
вторяються. Рекомендується повторювати експерименти щонайменше три рази. Проведення паралельних дослідів дає можливість зробити більш надійними оцінки впливу вхідних факторів на вихідний фактор та виконати розрахунки статистичних характеристик.
Після складання матриці планування необхідно провести рандомізацію дослідів.
Рандомізація (від англ. Random - Випадковий) - Введення випадкової послідовності проведення дослідів.
Мета рандомізації - виключення появи та впливу систематичних помилок на результати експерименту.
Досліди необхідно рандомізувати у часі.
Для створення випадкової послідовності дослідів можна використовувати випадкових чисел. Вибрану випадково послідовність дослідів порушувати не рекомендується.
Експеримент, який ставиться на вирішення завдань оптимізації, називається екстремальним . Якщо не ставиться завданняоптимізації, а потрібно встановити лише кількісний зв'язок між вхідними та вихідними факторами, то такий експеримент часто називають інтерполяційним.
Після проведення експерименту слід ретельно проаналізувати отримані результати. Якщо серед результатів вимірювань вихідно-
го чинника різко від інших, слід перевірити, чи є вони грубими викидами, які підлягають виключенню 1 .
Запитання для самоконтролю
1. Що таке експеримент?
2. Що таке планування експерименту?
3. Визначте цілі планування експерименту.
4. Що таке досвід?
5. Які види експериментів існують?
6. Що таке план експерименту?
7. Що таке нульовий рівень фактора? Як він вибирається?
8. Що таке інтервал варіювання? Як він вибирається?
9. Що таке повний факторний експеримент?
10. Що таке матриця планування експерименту?
11. Назвіть властивості матриці повного факторного експерименту.
12. Що таке дробова репліка?
13. Що таке рандомізація? Яка мета проведення рандомізації?
14. Що таке екстремальний експеримент?
15. Що таке інтерполяційний експеримент?
Глава 5. Регресійні моделі з однією вхідною змінною
5.1. Основні поняття
Технологічні процеси машинобудівного виробництва, особливо процеси обробки різанням конструкційних матеріалів, дуже складні за своєю природою. Досі відсутні прийняті всіма аналітичні моделі, що точно описують закономірності процесів зношування та навантаження інструменту, теплових процесів у зоні різання і т. д. Тому в технології машинобудування дуже часто використовують моделі, які ми раніше позначили як емпі-
1Методика відсіювання грубих викидів за таблицями критичних різниць розглянута у кн.: Рогов В. А. Методика та практика технічних експериментів: навч.
допомога. М., 2005. 288 с.
річні. Емпіричні моделі об'єктів і процесів є результатом обробки експериментальних даних про поведінку об'єкта або процесу методами математичного статистичного аналізу. Найчастіше для побудови моделей об'єктів за результатами експериментальних досліджень використовують математичний апарат регресійного та кореляційного аналізу.
Терміни «регресія» та «кореляція» були введені у широке вживання статистиками Ф. Гальтоном та К. Пірсоном наприкінці XIX ст. Вони вивчали взаємозалежності зростання та маси людей різного віку і зіткнулися з необхідністю запровадження таких показників зазначеної залежності, які б відображали зв'язок між досліджуваними характеристиками людини, але не визначали один одного суворо однозначно. В даний час "регресія" та "кореляція" - основні поняття статистики.
Основне завдання кореляційного аналізу - Виявлення значущості зв'язку між значеннями різних випадкових величин. Залежність між величинами (у тому числі й випадковими), при яких одному значенню однієї величини (аргументу) відповідає одне або кілька цілком визначених значень іншої величини, називається відповідно одно-
значною чи багатозначною функціональною залежністю [11]. Залеж-
мість між величинами, при якій кожному значенню однієї величини відповідає з відповідною ймовірністю безліч можливих значень іншої, називають імовірнісною (стохастичної, статистичної). Прикладами кореляційного зв'язку є залежності між межами міцності та плинності стали певної марки,похибками розміру та похибкою форми поверхні деталі, між температурою випробування та міцністю матеріалу тощо.
Математичний апарат регресійного аналізу дозволяє:
● оцінити невідомі параметри запропонованої до дослідження регресійної моделі;
● перевірити статистичну значущість параметрів моделі;
● перевірити адекватність моделі;
● оцінити точність моделі.
Вид регресійної моделі пропонує сам дослідник, причому він виходить з наступного:
● фізичної сутності досліджуваного об'єкта чи явища;
● характеру експериментального матеріалу;
● аналізу апріорної інформації.
Найпростішим для моделювання є об'єкт, у якого один вхідний та один вихідний фактор (рис. 5.1). Вхідний чинник характеризує вплив досліджуваний об'єкт. У технологічних процесах машинобудування це може бути температура, сила, час, геометричні параметри інструменту, характеристики оброблюваного і інструментального матеріалів тощо. буд. Вихідний чинник характеризує реакцію (відгук) об'єкта на вплив вхідного фактора. Вихідні чинники у технологічних процесах машинобудування – довжина пройденого інструментом шляху, величина зносу, напруги, якість обробленої поверхні тощо.
Мал. 5.1. Об'єкт дослідження з одним вхідним та одним вихідним фактором
Для початку побудови емпіричної моделі необхідно мати дані експериментальних досліджень об'єкта (у вигляді таблиці або графіка), в яких кожному значенню вхідного фактора (X) відповідає значення вихідного фактора (Y), тобто відома пара чисел (х i, y i). Пари випадкових змінних (x, y) підкоряються деякому двовимірному імовірнісному розподілу. Загальна кількість пар чиселнехай дорівнює m
Мал. 5.2. Графічне відображення результатів експерименту
Даний графік називається діаграмою розсіювання, або точковою діаграмою [12]. Необхідно знайти таку криву, яка найкраще апроксимувала експериментальні точки. Для зручності подальшого дослідження об'єкта ця крива повинна мати для опису одну єдину формулу (функцію). Якщо ми з'єднаємо точки на графіці, то отримаємо ламану лінію, що складається з кількох прямих відрізків і описується відповідною кількістю лінійних моделей. Це дуже незручно для дослідження. Необхідно знайти криву, яка найкраще описує всі експериментальні точки
(Рис. 5.3). Таку криву називають кривою регресії, або регресійною кривою Y по X. У загальному випадку крива регресії може мати будь-який вид (монотонно зростаюча, монотонно спадна, з точками перегину і т. д.), але вона повинна бути безперервною, тобто не повинна мати розривів. У найпростішому випадку крива регресії має вигляд прямої лінії.
Мал. 5.3. Побудова лінії регресії
Зазвичай побудова моделей та дослідження об'єкта починають із найпростіших моделей – лінійних. Лінійній моделі відповідає крива регресії у вигляді простої лінії.
Як очевидно з графіка (див. рис. 5.3), є відхилення експериментальних точок від кривої регресії, що викликано впливом інших (неврахованих у моделі) зовнішніх чинників на досліджуваний об'єкт. У моделюванні вихідний фактор ще називають залежною вихідною зміною
ної, а вхідний - незалежної вхідний змінної. Під час дослідження
об'єкта вхідний чинник завжди має детермінований характер, а вихідний – випадковий.
Вираз, який встановлює зв'язок між випадковою залежною тадетермінованою незалежною змінними, є рівняння регресії. Термін "рівняння регресії", строго кажучи, не зовсім коректний [12], але загальноприйнятий. Модель, побудована з урахуванням рівняння регресії, є регресійної моделлю . Як зазначалося раніше, отримання регресійних моделей (рівнянь регресії) використовується математичний апарат регресійного аналізу.
Отже, як ми вже говорили, підбір кривої регресії та регресійної моделі зазвичай починають із простої прямої лінії та, відповідно, з лінійної моделі. Якщо мати необмежено велику кількість експериментальних точок, лінійна регресійна модель має вигляд [12]
y = β 0 + β 1 · x + ε,
де ŷ - значення вихідний змінної, розраховані (передбачені) за лінійною моделлю;
x – значення вхідної змінної; β 0 та β 1 – коефіцієнти регресії; ε – залишок (нев'язка).
Визначення коефіцієнтів регресії складає основі методу найменших квадратів . Метод найменших квадратів застосовують у тих випадках, коли випадкова варіація вхідного фактора зневажливо мала порівняно з діапазоном його вимірювання, що спостерігається [12], тобто значення вхідної змінної вважаються фіксованими. Суть методу в тому, що підбираються такі ?
Для пар спостережень можна записати
y = β 0 + β 1 x i + ε i.
Відхилення виміряної величини y від передбаченої ŷ