Модулярна арифметика
Модулярна арифметикачасто вивчається у школі як "арифметикагодин".
На годиннику зі стрілками циферблат поділено на 12 частин, які ми позначимо числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. У наступній таблиці можна бачити, як час на аналоговому циферблаті відповідає часу після полудня на екрані цифрового годинника.
Коли ми говоримо, наприклад, що зараз 14:00, ми можемо також сказати, що зараз дві години дня. Той самий принцип застосовується і у разі виміру кутів. Кут 370 градусів дорівнює куту 10 градусів, тому що від першого значення ми повинні відняти повний оборот 360 градусів.
Зауважимо, що 370 = (1 х 360) + 10, тобто залишком від розподілу 370 на 360. Який кут еквівалентний куту 750 градусів? Віднімаючи відповідну кількість повних оборотів, отримаємо, що кут 750 градусів дорівнює куту 30 градусів. Ми, що 750 = (2х360 + 30, тобто 30 є залишком від розподілу 750 на 360. У математиці це позначається так:
Ми говоримо: «750 можна порівняти з 30 за модулем 360».
У випадку з годинником ми написали б142(mod 12).
Також можна уявити годинник з негативними числами. У цьому випадку, яка буде година, коли стрілка вказує на (-7)? Або іншими словами, з яким числом можна порівняти число (-7) за модулем 12?
Давайте порахуємо, враховуючи, що на нашому годиннику з циферблатом, розділеним на 12 частин, значення 0 відповідає 12.
Математика для розрахунків на нашому годиннику зі стрілками, циферблат яких розділений на 12 частин, називається арифметикою за модулем 12.
Якщо відрахувати 14 годин від 3 годин після полудня, то вийде 5 годин ранку наступного дня:
Цеарифметика за модулем 12.
Звичайний запис умодулярнийарифметиці
читається так: "aпорівняно зbза модулемn".
У випадку ми говоримо, щоab (mod n),якщо залишок від розподілуанаmдорівнюєb, за умови, щоа,mтаb- цілі числа. Числоbпорівняно з залишком від розподілуaнаm.
Наступні твердження еквівалентні:
Питання «Котрій годині на годиннику зі стрілками відповідає час 19 годин?» еквівалентний у математичних термінах наступному питанню: «З яким числом порівняно число 19 за модулем 12?»
Для відповіді це питання треба розв'язати рівняння:
Розділивши 19 на 12, отримаємо приватне 1 та залишок 7, тому
Визначимо зв'язок між модульною арифметикою та шифромЦЕЗАРЯ.
Запишемо в таблиці стандартний алфавіт і алфавітзі зрушенням на три літери, додавши титульний ряд із26 чисел.