Моменти випадкової величини

Матеріал із MachineLearning.

Момент випадкової величини- числова характеристика розподілу цієї випадкової величини.

Зміст

Визначення

Якщо дана випадкова величина визначена на деякому ймовірнісному просторі, то:

• -мпочатковиммоментом випадкової величини де називається величина

якщо математичне очікування у правій частині цієї рівності визначено;

• -мцентральниммоментом випадкової величини називається величина

• -мфакторіальниммоментом випадкової величини називається величина

якщо математичне очікування у правій частині цієї рівності визначено.

• Якщо визначено моменти-го порядку, то визначено й усі моменти нижчих порядків
• З огляду на лінійності математичного очікування центральні моменти може бути виражені через початкові, і навпаки. Наприклад:

і т. д.

Геометричний зміст деяких моментів

• дорівнює математичному очікуванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• дорівнює дисперсії розподілу та показує розкид розподілу навколо середнього значення.
• , Будучи відповідним чином нормалізовано, є числовою характеристикою симетрії розподілу. Більш точно, вираз

називається коефіцієнтом асиметрії.

• контролює, наскільки яскраво виражена вершина розподілу на околиці середнього. Величина

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу

Обчислення моментів

• Моменти можуть бути обчислені безпосередньо через визначення шляхом інтегрування відповідних ступенів випадкової величини. Зокрема, для абсолютно безперервного розподілу із щільністюмаємо:

• Також моменти випадкової величини можуть бути обчислені через її характеристичну функцію:

• Якщо розподіл такий, що для нього в околицях нуля визначена виробляюча функція моментів то моменти можуть бути обчислені за такою формулою:

---