Напружено-деформований стан балки
Напружено-деформований стан балки при прямому поперечному згині
1. У найпростішому випадку прямого вигину балки зовнішні навантаження діють в одній (вертикальній) площині перпендикулярно до осі балки.
2. На балку можуть діяти сили:
Б) розподілені по довжині (зустрічаються у будівництві частіше)
В) згинальні моменти
Аналізвнутрішніхсилових факторів починається з визначення повної системизовнішніх сил.
3. Розглянемо горизонтальну балку прямокутного перерізу на двох опорах і завантажену рівномірно розподіленим вертикальним навантаженням q.
4. Поперечний переріз балки має висоту h
5. Якщо балка спирається на опори вільно, то одна опора вважається шарнірно-нерухомою, інша – шарнірно-рухомою. Така балка називається простою.
1. Якщо до завантаження балка була прямолінійним стрижнем, то під навантаженням стрижень скривився і з'явився вигин:
А) з боку навантаження стрижень став увігнутим (стиснутий);
Б) з протилежного боку – опуклим (розтягнутим)
2. Деформації (нерівномірний розподіл)
А) при згинанні поздовжні волокна деформуються по-різному: одні подовжуються в нижній частині балки, інші коротшають - у верхній частині балки;
Б) ці подовження та укорочення різні залежно від розташування волокон по відношенню до середини перерізу: чим ближче до краю, тим більша деформація.
В) нейтральна вісь (шар) при викривленні свою довжину не змінює.Нейтральна вісь– розділяє ділянки стиснення та розтягування, змінює своє становище зі збільшенням навантаження
3. Прогин - переміщення точок балки вниз внаслідок викривлення осі. Найбільший прогин – у середині балки
fmax = 5384∙ql4EJ
1. У будь-якому перерізі по довжині балки виникають:
А) згинальні моменти Мх і
Б) поперечні сили Qx
2. Розмір Мх і Qx залежить від:
А) розрахункової схеми балки;
Б) характеру навантаження
3. Епюри Мх і Qx для простої балки від рівномірно розподіленого навантаження
4. Найбільше значення Мх визначають за формулою
5. Найбільше значення Qх визначають за формулою
1. Відповідно до нерівномірного розподілу деформацій: напруги по висоті перерізу не однакові.
2. Найбільше напруження відповідає найбільшим деформаціям (закон Гука)
3. Крайові частини поперечного перерізу, найбільш віддалені від середини по висоті перерізу, перебувають у напруженому стані.
4. Отже, при визначенні напруги при вигині необхідно враховувати не тільки кількість матеріалів (Sсечения), але і йогорозподіл за висотою перерізу.
5. Найбільш вигідними при згинанні виявляються перерізи, в яких основна маса матеріалу розташована по краях елемента.
6. Розподіл напруг
А) у крайніх верхніх волокнах виникають найбільші стискаючі напруги σхсж. Умовно приймають негативними → σхmin (верхні волокна коротшають)
Б) у крайніх нижніх — найбільші напруги, що розтягують σхраст. Умовно приймають позитивними → σхmax (нижні волокна подовжуються)
В) на рівні нейтрального шару (осі) σх = 0
7. Подовження та укорочення залежать від відстані до нейтрального шару (осі)
8. Також від цієї відстані залежать і нормальні напруження, тобто вони змінюються за лінійним законом. Графік зміни нормальних напруг σх (епюра нормальних напруг) - в
σхmax = σхmin = Mx : bh26 → σхmax= σхmin = MxWx
Момент опору WX = bh26 – геометричний показник опору прямокутного перерізувигину(таблична величина)
(за аналогією аb - геометричний показник опору прямокутного перерізурозтягу стиснення)
9. З формули – якщо розміри балки b і h однакові за довжиною балки, то нормальні напруги
σх безпосередньо залежать від згинального моменту Mx – чим більше згинальний момент, тим більша нормальна напруга.
10. У середині балки згинальний момент досягає максимального значення і → напруги (max і min) будуть найбільшими для всієї балки.
1. Визначаються за формулою Журавського
Qx – поперечна сила в аналізованому перерізі
Sx - статичний момент перерізу (за формулами або з таблиць)
Jx – момент інерції перерізу
b – ширина перерізу балки
Прим. Для опису явища вигину використовують такі характеристики, які враховують розподіл матеріалу за висотою перерізу (ці характеристики називаються геометричними)
2. З формули – дотичні напруги залежить від поперечної сили Qx
А) там, де вона досягає максимального значення (тут: на опорах) найбільшими будуть і дотичні напруги.
Б) де Qx = 0 (тут: у середині балки) → τу =0
3. Дотичні напруження τу змінюються не за лінійним законом (як σх), а за законом параболи
(τ залежить як від Qx, а й від Sx – залежить від положення точки за висотою перерізу)
4. Графік зміни напруги по висоті перерізу називається епюрою (г - епюра Q)
5. Для наочності зміна дотичних і нормальних напруг показана в аксонометрії
1. Нормальна напруга спрямована горизонтально (вздовж осі х) → індекс х
2. Дотичні напруги спрямовані вертикально (вздовж осі у) → індекс у
3. В позначення моменту інерції J, моменту опору W, статичного моменту S - нижній індекс (Jх Wх Sх або у) - вказує на вісь, щодо якої характеристики обчислюються.
Основні розрахункові передумови при згинанні
1. Перпендикулярне осі недеформованого бруса плоский переріз залишається і після вигину плоским та нормальним до вигнутої осі бруса (гіпотеза плоских перерізів)
2. Поздовжні волокна при його деформації не натискають один на одного
Розрахунок балок на міцність
1.За нормальними напругами
σізгmin, min Rізг
Rізг – розрахунковий опір матеріалу під час роботи на вигин (таблична величина)
σізг = МхWx → МхWx Rізг
2. Завдання трьох типів при розрахунках на міцність при згинанні (як при розтягуванні та стисканні)
А) визначення несучої здатності балки
Б) перевірка несучої здатності балки
В) підбір перерізу балки (зустрічається частіше)
2.По дотичних напруг
τmax Rсдв
Rсдв – розрахунковий опір матеріалу при роботі на зсув (таблична величина. Для сталі замість Rсдв → Rср)
QxSxJxb Rсдв (зріз)
Розрахунок балок на жорсткість
1. Балки можуть бути міцними та стійкими, але мати надмірні (більше нормативних) прогини
fmax fпред
fmax - найбільший розрахунковий прогин конструкції
fпред - граничний прогин по СНіП
2. Для міжповерхового перекриття fпред = 1200 l, балок горищного перекриття fпред = 1150 l
де l – довжина прольоту балки
Інтеграл Мора і правило Верещагіна
1. Інтеграл Мора дозволяє визначатипрогини та кути поворотузаданого перерізубалки за допомогою інтегрального обчислення.