Натуральне число

Натуральні числа(від латів. naturalis - природний) - числа, що виникають природним чином при рахунку (наприклад, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). Послідовність всіх натуральних чисел, розташованих у порядку зростання, називається натуральним рядом [1] .

Існують два підходи до визначення натуральних чисел:

• натуральні числа - числа, що виникають припідрахунку (нумерації)предметів (перший,другий,третій,четвертий,п'ятий…);
• натуральні числа - числа, що виникають припозначенні кількостіпредметів (0 предметів,1 предмет,2 предмети,3 предмети,4 предмети,5 предметів…).

У першому випадку ряд натуральних чисел починається з одиниці, у другому – з нуля. Не існує єдиної більшості математиків думки про перевагу першого чи другого підходу (тобто вважати чи нуль натуральним числом чи ні). У переважній більшості українських джерел традиційно прийнято перший підхід [2] . Другий підхід, наприклад, застосовується у працях Ніколя Бурбаки, де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин.

Негативні та нецілі (раціональні, речові, …) числа до натуральних не відносять.

Багато всіх натуральних чисел прийнято позначати символом N > . Безліч натуральних чисел є нескінченним, тому що для будь-якого натурального числа n знайдеться натуральне число, більше ніж n.

Наявність нуля полегшує формулювання та доказ багатьох теорем арифметики натуральних чисел, тому при першому підході вводиться корисне поняття розширеного натурального ряду, що включає нуль. Розширений ряд позначається [2] N 0 _> або Z 0 _> .

Зміст

Аксіоми Пеано для натуральних чисел

Перераховані аксіоми відображають наше інтуїтивне уявлення про натуральний ряд та числову лінію.

Нуль як натуральне число

Іноді, особливо в іноземній та перекладній літературі, у першій та третій аксіомах Пеано замінюють одиницю на нуль. І тут нуль вважається натуральним числом. При визначенні через класи рівносильних множин нуль є натуральним числом за визначенням. Спеціально відкидати його було б неприродно. Крім того, це значно ускладнило б подальшу побудову та застосування теорії, так як у більшості конструкцій нуль, як і порожня множина, не є чимось відокремленим. Іншою перевагою вважати нуль натуральним числом є те, що при цьому N> утворює моноід.

Теоретико-множинне визначення натуральних чисел (визначення Фреге - Рассела)

Відповідно до теорії множин, єдиним об'єктом конструювання будь-яких математичних систем є безліч.

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

Числа, задані в такий спосіб, називаються ординальними.

Опишемо кілька перших ординальних чисел та відповідних їм натуральних чисел:

Величина нескінченної множини характеризується поняттям «потужність множини», яке є узагальненням числа елементів кінцевої множини на нескінченні множини. За величиною (тобто потужності) безліч натуральних чисел більше будь-якої кінцевої множини, але менше будь-якого інтервалу, наприклад, інтервалу (0, 1). Безліч натуральних чисел за потужністю така сама, як безліч раціональних чисел. Безліч такої ж потужності, як множина натуральних чисел, називається лічильною множиною. Так, безліччленів будь-якої послідовності счётно. У той же час, існує послідовність, в яку кожне натуральне число входить нескінченне число разів, оскільки безліч натуральних чисел можна представити як лічильне об'єднання нелічимих множин, що не перетинаються (наприклад [5] , N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ ( 2 n + 1) 2 k) = bigcup \limits _^\left(\bigcup \limits _^(2n+1)2^\right).

До замкнутих операцій (операцій, які не виводять результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться такі арифметичні операції:

Додатково розглядають ще дві операції (з формальної точки зору не є операціями над натуральними числами, тому що не визначені длявсіхпар чисел (іноді існують, іноді ні)):

Слід зауважити, що операції складання та множення є основними. Зокрема, кільце цілих чисел визначається саме через бінарні операції складання та множення.

Основні властивості

• Комутативність складання:

a + b = b + a.

• Комутативність множення:

a ⋅ b = b ⋅ a .

• Асоціативність складання:

(a + b) + c = a + (b + c).

• Асоціативність множення:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

• Дистрибутивність множення щодо складання:

< a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ( b + c ) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a cdot (b + c) = a cdot b+c) cdot a = b cdot a + c cdot a end & gt; .

Алгебраїчна структура

Додавання перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, роль одиниці виконує0. Множення також перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, причому одиничним елементом є1. За допомогою замикання щодо операцій складання-віднімання та множення-поділу виходять групи цілих чисел Z> та раціональних позитивних чисел Q + ∗ _^> відповідно.

Теоретико-множинні визначення

Скористаємося визначенням натуральних чисел як класів еквівалентності кінцевих множин. Якщо позначити клас еквівалентності множиниA, породжений бієкціями, за допомогою квадратних дужок: [A], основні арифметичні операції визначаться таким чином:

Можна показати, що отримані операції на класах введені коректно, тобто не залежать від вибору елементів класів і збігаються з індуктивними визначеннями.

---