Науково-дослідна робота на тему - Метод математичної індукції, Соціальна мережа працівників
тема« Метод математичної індукції якефективний метод доказу гіпотез»
Міська науково-практична конференція
«У науку крок за кроком»
Метод математичної індукції як
ефективний метод доказу гіпотез»
Виконано: учнем 9-А класу МОУ «Гімназія №20»
Керівник: вчитель математики,
Бондаренко Ольга Валентинівна.
- Введение…………………………………….……………………………..3
- З історії виникнення та розвитку методу математичної
ІІІ. Основні результати дослідження……………………………..………6
1) Загальні та приватні твердження ……………………………………. 6
6) Метод математичної індукції……………………………………..7
7) Застосування методу математичної індукції…………..….……. 7-8
8)Другий варіант способу математичної індукції……. 8-9
9)Примечание до методу математичної індукції……….……. 9
Однією з рис математики є дедуктивне побудова теорії. Але дедукція перестав бути єдиним методом наукового мислення. У експериментальних науках велика роль індуктивних висновків. У математиці індукція часто дозволяє вгадати формулювання теорем, а деяких випадках і намітити шляхи доказів.
Для дослідження я вибрав тему «Метод математичної індукції», тому що в шкільній програмі з методом математичної індукції знайомляться лише поверхово. У той час як докладне знайомство з цим методом корисне учням не тільки через розширення їхнього кругозору, але також і тому, що на його принципі засновано вирішення багатьох завдань (включаючи олімпіадні). Мною був вивчений принцип математичної індукції, а також його широке застосування у вирішенні завданьпідсумовування, підтвердження тотожностей, підтвердження і розв'язання нерівностей (зокрема нерівності Бернуллі), вирішення питання ділимості, щодо властивостей числових послідовностей, під час вирішення геометричних завдань.
ознайомитися з методом математичної індукції, систематизувати знання з цієї теми і застосувати її під час вирішення математичних завдань і підтвердження теорем, обгрунтувати і наочно показати практичне значення методу математичної індукції як чинника на вирішення задач.
1. Проаналізувати літературу на цю тему.
2. Освоїти різні методи та методики роботи.
3.Узагальнити та систематизувати знання з даної теми.
4. Удосконалювати знання, вміння, навички з цієї теми.
5. Розвивати творчий підхід до вирішення завдань.
6. Вирішувати завдання різних видів, застосовуючи даний метод.
7. Надати висновки на цю тему.
8.Сформувати ставлення до математики як частини загальнолюдської культури, розуміти значимість математики.
Метод математичної індукції призводить лише до правильних висновків.
Методи та методики дослідження, що використовуються в роботі
1.Аналіз математичної літератури та ресурсів Інтернету на цю тему.
2. Репродуктивне відтворення вивченого матеріалу.
3.Пізнавально - пошукова діяльність.
4.Аналіз та порівняння даних у пошуку розв'язання задач.
5. Постановка гіпотез та їх перевірка.
6.Порівняння та узагальнення математичних фактів.
7.Рішення завдань різних видів.
8. Аналіз отриманих результатів.
З історії виникнення та розвитку методу математичної індукції
Надзвичайне розширення предмета математики привернуло у ХІХ столітті посилену увагу до питань її"обґрунтування", тобто. критичного перегляду її вихідних положень (аксіом), побудови суворої системи визначень та доказів, а також критичного розгляду логічних прикладів, які вживаються при цих доказах.
Лише до кінця ХІХ століття склався стандарт вимог до логічної строгості, що залишається і досі пануючими у практичній роботі математиків над розвитком окремих математичних теорій.
Сучасна математична логіка дала це питання, певний відповідь: жодна єдина дедуктивна теорія неспроможна вичерпати різноманітності проблем теорії чисел.
Слово індукція українською означає наведення, а індуктивними називають висновки, зроблені з урахуванням спостережень, дослідів, тобто. отримані шляхом ув'язнення від частки до загального.
В основі будь-якого математичного дослідження лежать дедуктивний та індуктивний методи. Дедуктивний спосіб міркування - це міркування від загального до приватного, тобто. міркування, вихідним моментом якого є загальний результат, а заключним моментом – приватний результат. Індукція застосовується під час переходу від приватних результатів до загальних, тобто. є методом, протилежним до дедуктивного.
Метод математичної індукції можна порівняти із прогресом. Ми починаємо з нижчого, в результаті логічного мислення приходимо до вищого. Людина завжди прагнула прогресу, до вміння розвивати свою думку логічно, отже, сама природа накреслила йому розмірковувати індуктивно.
Роль індуктивних висновків у експериментальних науках дуже велика. Вони дають ті положення, з яких потім шляхом дедукції робляться подальші висновки. І хоча теоретична механіка ґрунтується на трьох законах руху Ньютона, самі ці закони стали результатом глибокого продумування досвідченихданих, зокрема законів Кеплера руху планет, виведених ним під час обробки багаторічних спостережень датського астронома Тихо Браге. Спостереження, індукція виявляються корисними й надалі уточнення зроблених припущень. Після дослідів Майкельсона з вимірювання швидкості світла в середовищі, що рухається, виявилося необхідним уточнити закони фізики, створити теорію відносності.
У математиці роль індукції значною мірою полягає в тому, що вона лежить в основі аксіоматики, що вибирається. Після того як тривала практика показала, що прямий шлях завжди коротший за кривий або ламаний, природно було сформулювати аксіому: для будь-яких трьох точок А, В і С виконується нерівність
Поняття «іти за», що лежить в основі арифметики, теж з'явилося при спостереженнях за строєм солдатів, кораблів та іншими впорядкованими множинами.
Не слід, проте, думати, що це вичерпується роль індукції в математиці. Зрозуміло, ми повинні експериментально перевіряти теореми, логічно виведені з аксіоми: якщо під час висновку було зроблено логічних помилок, всі вони настільки вірні, оскільки істинні прийняті нами аксіоми. Але з цієї системи аксіом можна вивести дуже багато тверджень. І відбір тих тверджень, які треба доводити, знову нагадує індукція. Саме вона дозволяє відокремити корисні теореми від марних, вказує, які теореми можуть виявитися вірними, і навіть допомагає намітити шлях доказу.
У математиці вже здавна використовується індуктивний метод, заснований на тому, що те чи інше загальне твердження робиться на підставі розгляду лише кількох окремих випадків. Історія, наприклад, зберегла наступне висловлювання Ейлера: «У мене немає для доказу жодних інших доводів, за винятком довгої індукції,яку я провів так далеко, що жодним чином не можу сумніватися в законі, який керує утворенням цих членів... І здається неможливим, щоб закон, який, як було виявлено, виконується, наприклад, для 20 членів, не можна було б спостерігати і для наступних».
Вірячи в непогрішність індукції, вчені іноді припускалися грубих помилок.
До середини сімнадцятого століття математиці накопичилося чимало помилкових висновків. Стала сильно відчуватися потреба у науково обгрунтованому методі, який дозволяв би робити загальні висновки виходячи з розгляду кількох окремих випадків. І такий метод було розроблено. Основна заслуга в цьому належить французьким математикам П а с к а л (1623 - 1662) і Декарту, а також швейцарському математику Якобу Бер-н уллі (1654-1705).