Навіщо біологу математика - математична біологія простими словами
Закони еволюції хоч і ґрунтуються на фактах, але не мають суворого математичного обґрунтування. Це дозволяє ученим різних напрямів трактувати їх по-різному, а то й зовсім не визнавати. Але все це доти, доки до цих законів не дісталася математика.
Перше за часом застосування математики у біології пов'язані з обробкою результатів спостережень. Так було встановлено більшість експериментальних закономірностей. Однак це надзвичайно корисний додаток математики до біології не тільки не єдиний, але навіть і не найважливіший.
Експериментальні закони є у біології. Чимало їх у фізиці, техніці, економіці та інших галузях людських знань. Але якій би науці не належав такий закон, у нього завжди є одна серйозна вада: він хоч і відповідає на питання "як", але не відповідає на питання "чому".
Ще алхіміки знали, як розчиняються речовини. Вимірюючи концентрацію розчину, легко накреслити криву, що наочно показує, що спочатку речовина переходить у розчин великими дозами, потім ці дози поступово зменшуються, поки нарешті речовина зовсім не перестане розчинятися.
Подібні криві можна знайти і в книгах з лісівництва. Вони отримані в результаті сотень і тисяч обмірів і показують, що дерево спочатку росте швидко, потім зростання сповільнюється і повністю припиняється.
Ці закони є експериментальними. Вони досить точно описують явище цілком достатньо для практики. Але прогнозувати, знаючи лише їх, важко: можна сказати лише, що ця речовина буде розчинятися таким чином, якщо повторюються умови, за яких ми його вивчали. Так само і з деревами. Не знаючи, чому вони ростуть так чи інакше, не можна передбачити, що трапиться з їхзростанням за інших умов.
"Науки сильно різняться між собою за ступенем передбачуваності фактів, що до них відносяться, і деякі стверджують, що біологія не наука. Оскільки біологічні явища не завжди можна передбачити". Це сумне зауваження вченого К. Віллі б'є просто в ціль. Щоб отримати ранг сучасної науки, біології вже недостатньо мати детальні відомості про численні і розрізнені факти. Потрібні закони, які відповідають питання "чому". І саме тут полягає сама суть математичної біології.
Як у фізиці, вивчаючи біологічне явище, намагаються виявити його математичні характеристики. Наприклад, якщо обстежується хворий, то для аналізу його стану потрібні числові дані - температура тіла, тиск і склад крові, частота пульсу і т.д.
Але ж зазвичай вивчають лише одну якусь сторону, щось є головним, а чимось можна знехтувати. В астрономії, наприклад, вся земна куля представляється як точка, позбавлена розмірів. Грубіше, начебто, нікуди. Проте ці розрахунки вже понад 300 років справно служать при визначенні термінів затемнень і в наші роки — при запуску супутників.
Часто, проте, біологи взагалі відмовляються робити будь-які спрощення. На одному представницькому біологічному семінарі обговорювалася модель зростання дерева. Доповідач, відомий спеціаліст своєї справи, було прийнято аудиторією доброзичливо. Все йшло добре до тих пір, поки він не сказав фразу: "Оскільки енергія фотосинтезу пропорційна площі листа, ми для простоти вважатимемо лист плоским, що не має товщини". Тут же посипалися здивовані питання: "Як так? Адже навіть найтонший лист має товщину!" Згадали і про хвойні, у яких взагалі важко відрізнити товщину від ширини. З деякою працеювдалося все ж таки пояснити, що в задачі, якою, займається доповідач, товщина листа не відіграє ніякої ролі і нею можна знехтувати. Натомість замість живого аркуша з усіма його нескінченними складнощами ми можемо вивчати просту модель.
Математична модель вивчається математичними засобами. Тому можна відволіктися на якийсь час від біологічного змісту моделі і зосередити свою увагу на її математичній сутності.
Зрозуміло, всю цю складну роботу, що вимагає спеціальних знань, біолог проводить у тісному союзі з математиком, а деякі моменти цілком доручає математику-фахівця. В результаті такої спільної роботи виходить біологічний закон, записаний математично.
На відміну від експериментального він відповідає на питання "чому", розкриває внутрішній механізм досліджуваного процесу. Цей механізм описується математичними співвідношеннями, що входять у модель. У моделі зростання дерева, наприклад, таким механізмом є диференціальне рівняння, яке виражає закон збереження енергій. Вирішивши рівняння, отримуємо теоретичну криву зростання - вона з вражаючою точністю збігається з експериментальною.
Ще в 1931 році в Парижі побачила світ книга відомого математика В. Вольтерра "Математична теорія боротьби за існування". У ній, зокрема, було розглянуто і проблему "хижак-жертва". Математик міркував так: "Приріст чисельності жертви буде тим більше, чим більше батьків, тобто чим більше чисельність жертви зараз. Але, з іншого боку, чим більша чисельність жертви, тим частіше вона зустрічатиметься і знищуватиметься хижаками. Таким чином, і спад жертви пропорційний її чисельності, крім того, цей спад зростає і зі зростанням чисельності хижаків.
А чого змінюється чисельність хижаків? Її спад відбуваєтьсялише через природну смертність і тому пропорційна кількості дорослих особин. А її прибуток можна вважати пропорційним до харчування, тобто пропорційним кількості жертви, знищеної хижаками".
Вочевидь, система рівнянь, складена Вольтерра, спрощено визначає ситуацію. Але він своєю роботою затвердив новий підхід, нову методологію вивчення біологічних угруповань. Стало можливим будувати математичні теорії таких складних явищ, як симбіоз, паразитизм, поширення інфекційних захворювань, штучне придушення небажаних видів тощо.
Остання з цих проблем дуже цікава. Суть її в тому, що хімічні методи боротьби зі шкідливими видами часто не задовольняють біологів. Деякі хімікалії настільки сильні, що разом із шкідливими тваринами знищують і багато корисних. Буває і навпаки: пригнічений вигляд дуже швидко пристосовується до хімічних отрут і стає невразливим. Фахівці запевняють, наприклад, що порошок ДДТ, один запах якого вбивав клопів 30-х років, нинішні клопи з успіхом вживають.
А ще один невеликий приклад того, як математичний підхід прояснив заплутану біологічну ситуацію. В одному з експериментів спостерігали дивовижну річ: варто було в колонію найпростіших мікроорганізмів, що мешкають у воді, помістити крапельку цукрового сиропу, як усі мешканці колонії, навіть найдальші, починали просуватися в напрямку до крапельки. Уражені експериментатори готові були стверджувати, що мікроорганізми мають спеціальний орган, який на великій відстані відчуває приманку і допомагає рухатися до неї. Ще трохи, і вони кинулися б шукати, цей нікому не відомий орган.
На щастя, один із біологів, знайомий з математикою, запропонував інше поясненняфеномена. Його версія полягала в тому, що далеко від принади рух мікроорганізмів мало чим відрізняється від звичайної дифузії, властивої неживим частинкам. Біологічні особливості живих організмів виявляються лише у безпосередній близькості від приманки, коли вони затримуються біля неї. Завдяки цій затримці шар від шару стає менш насиченим мешканцями, ніж зазвичай, і туди за законами дифузії спрямовуються мікроорганізми з сусіднього шару. У цей шар за тими ж законами спрямовуються мешканці наступного, ще більш віддаленого шару і т. д. і т. п. В результаті виходить той потік мікроорганізмів до краплі, який і спостерігали експериментатори.
Цю гіпотезу легко було перевірити математично, і таємничого органу шукати не довелося.
Математичні методи дозволяли дати відповіді багато конкретні питання біології. І ці відповіді часом вражають своєю глибиною та витонченістю. Однак говорити про математичну біологію як про науку, що склалася, ще рано.