Негативні числа ненауковий підхід

Як пояснити дитині 9 років правила множення негативних чисел? Не просто аксіому "мінус на мінус дає плюс", а саме, чому знак змінюється. Дитина чомучка, без пояснення, вона просто не вірить словам.

Я завжди дуже рада такій цікавості і з боку батьків, і, звичайно, з боку дітей. Скажу відверто: мене це питання зняло зненацька.

Як пояснити глибоко наукові вигадки, які обговорюються і заперечуються вже багато століть, простою та зрозумілою для юного учня мовою.

Але все гаразд. У такому серйозному предметі, як математика, не обійтися без “нудних” аргументів.

Нижче буде наведено моє суб'єктивне бачення цього питання.

Одним із важких для засвоєння учнями місць в алгебрі є вчення про дії з негативними числами. І не тому, що встановлені правила дій складні. Навпаки, вони дуже прості. Але незрозумілими залишаються два питання.

Навіщо запроваджуються негативні числа?
Чому над ними відбуваються дії за такими правилами, а не за іншими? Зокрема, дуже погано розуміється, чому при множенні та розподілі негативного числа на негативний результат є позитивне число.

Всі ці питання виникають тому, що з негативними числами учнів зазвичай знайомлять доти, як вони почали вирішувати рівняння, і більше не повертаються до правил дій з негативними числами. Тим часом лише у зв'язку з рішенням рівнянь з'ясовується відповідь на обидва поставлені вище питання. Історично негативні числа виникли у зв'язку. Якби не було рівнянь, не було б потреби і в негативних числах.

Довгий час рівняння вивчалися без допомоги негативних чисел; при цьому виникало багато незручностей; дляусунення цих незручностей і запровадили негативні числа. При цьому протягом довгого часу багато видатних математиків відмовлялися вводити їх у вживання або вводили з великим небажанням. Ще Декарт називав негативні числа «хибними числами».

Про характер згаданих незручностей дає уявлення такий простий приклад. При вирішенні рівняння першого ступеня з одним невідомим, наприклад, рівняння

ми переносимо члени так, щоб в одній частині рівняння виявились відомі, в іншій — невідомі величини. При цьому знаки змінюються протилежними. Збираючи невідомі у праву частину, а відомі у ліву, отримуємо

Ці перетворення можна виконувати, не користуючись негативними числами і розглядаючи знаки + і – як знаки складання і віднімання, а чи не як знаки позитивних і негативних чисел. Але тоді треба заздалегідь продумати питання, а який бік, праворуч чи ліворуч, слід переносити невідомі члени. Якщо, наприклад, у наведеному вище рівнянні перенести невідомі члени вліво, отримаємо

Не вводячи негативних чисел, ми можемо від 5 відняти 11, можемо з 7x відняти 10x і, отже, можемо далі просунутися у вирішенні рівняння. Тим часом заздалегідь не завжди видно (особливо якщо багато членів), в який бік потрібно переносити невідомі члени, щоб такого положення не створювалося. Обчислювач повинен бути готовий виконати подвійну роботу, вдруге здійснюючи перенесення членів у потрібну сторону. У порядку раціоналізації обчислювального процесу були введені негативні числа. Дійсно, якщо ми погодимося вважати можливим "неможливе" віднімання 5 - 11, позначивши результат через -6, і так само віднімання 7x - 10x, позначивши результат -3x, то отримаємо -3x = -6.

Тепер з'ясовується, що, ввівши негативні числа,ми повинні встановити правило: при розподілі негативного числа (-6) на негативне (-3) приватне є позитивне число (2). Дійсно, це приватне має дати значення невідомої величини x, яке раніше було знайдено іншим шляхом (без негативних чисел) і дорівнювало 2.

Таким чином і були введені негативні числа; мета цього запровадження — раціоналізація обчислювального процесу; правила дій над негативними числами з'явилися результатом застосування цього раціоналізаторського прийому на обчислювальну практику.

Багаторічні та різноманітні випробування показали, що цей прийом має величезну ефективність і знаходить блискучі застосування у всіх галузях науки і техніки. Усюди запровадження негативних чисел дозволяє охопити єдиним правилом такі явища, котрим треба було б вигадувати десятки правил, якщо обмежитися числами позитивними.

Отже, на два вищепоставлені питання потрібно відповісти так.

Негативні числа вводяться для того, щоб усунути ряд труднощів, що виникли насамперед при вирішенні рівнянь.
Правила дій над ними випливають із необхідності узгодити результати, отримані за допомогою негативних чисел, з тими результатами, які могли бути отримані без них.

Всі ці правила можуть бути встановлені при розгляді найпростіших рівнянь подібно до того, як вище було виведено правило поділу негативного числа на негативне.

Правила дій із негативними числами справді запам'ятати нескладно. Але допитливі учні все ж таки намагаються знайти своє пояснення тому, як, наприклад, помножити два негативні числа, і чому у відповіді виходить саме ПОЗИТИВНЕ.

Ось один із таких варіантів пояснення.

Розглянемо спочатку дію (-2) * 1 на координатному промені.

Використовуючи правило «a*b=a+a+a+a+a+a+…» b-раз, відкладемо число -2 на координатному промені один раз, тобто у протилежний бік від нуля.

Оскільки (-2)*1 =2*(-1) =-2 , то домовимося в такий спосіб, що множення число -1 – це означає «відкласти на координатному промені число, протилежне вихідному».

Тоді, розглядаючи приклад (-2)*(-3), маємо: (-2)*(-3) = (-2)*3*(-1)= (-6)*(-1), що означає «відкласти на координатному промені число, протилежне числу -6».

А це означає, що результат (-6) * (-1) = 6.

Тобто. результатом множення двох негативних чисел є позитивне число.

Ми вважаємо негативні числа чимось природним, але так було далеко не завжди. Вперше негативні числа були узаконені у Китаї III столітті, але використовувалися лише виняткових випадків, оскільки вважалися, загалом, бездумними. Трохи пізніше негативні числа стали використовуватися в Індії для позначення боргів, але на захід вони не прижилися – знаменитий Олександр Олександрійський стверджував, що рівняння 4x+20=0 – абсурдно.

У Європі негативні числа з'явилися завдяки Леонардо Пізанського (Фібоначчі), який також ввів його для вирішення фінансових завдань із боргами – у 1202 році він уперше використав негативні числа для підрахунку своїх збитків.

Проте до XVII століття негативні числа були “в загоні” і навіть у XVII столітті знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0-4=0 бо немає такого числа, яке може бути менше, а аж до XIX століття математики часто відкидали в своїх обчисленнях.

Але як би там не було, зрозуміло, що ставлення до негативних чисел протягом усієї історії у вчених було неоднозначним. І завойовували вони собі місце “підсонцем”, долаючи великі труднощі. Як їх тільки не називали: і фальшиві числа, і абсурдні числа, і фіктивні числа.

У побуті їх співвідносили як “борг”, тоді як позитивні числа представлялися як “майно” чи “прибуток”. Зрозуміло одне, що у наш час негативні числа не залишають нікого байдужими. А тим більше, коли йдеться про борги.