Незалежні події
Зміст
Основні визначення [ред.]
| Визначення: |
| Дві події [math]A[/math] і [math]B[/math] називаютьсянезалежними(англ.independent), якщо [math] p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) [/math] |
| Визначення: |
| Дві події [math]A[/math] і [math]B[/math] називаютьсянесумісними(англ.mutually exclusive), якщо [math] A \cap B = \ emptyset [/math] |
| Визначення: |
| Події називаютьсянезалежними в сукупності(англ.mutually independent), якщо для [math]\forall I\subset \[/math] [math]p(\bigcap\limits_A_) = \prod\limits_p(A_)[/math] |
| Визначення: |
| Події [math]A_, \ldots,A_[/math] називаютьсяпопарно незалежними(англ.pairwise independent), якщо для [math]\forall i \neq j[/math ] [math]\Rightarrow A_[/math] та [math]A_[/math] - незалежні. |
| Твердження: |
Якщо несумісні події є незалежними, то виконується [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math] . Також для несумісних подій виконується [math] A \cap B = \emptyset [/math] . Отже [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math] . А це виконується тоді і тільки тоді, коли [math] p(A) = 0 [/math] або [math] p(B) = 0 [/math] .
[math] \Leftarrow [/math] :
Допустимо [math]A[/math] є порожнім безліччю, тоді [math] A \cap B = \emptyset[/math] . Отже [math] p(A \cap B) = 0 [/math] і [math] p(A) \cdot p(B) = 0[/math] . Отже події [math]A[/math] та[math]B[/math] є незалежними.
Приклади [ред.]
Гральна кістка [ред.]
[math] A = p(A) = dfrac [/math] — ймовірність випадання парної цифри
[math] B=\p(B)=\dfrac [/math] — ймовірність випадання однієї з перших трьох цифр
[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , отже, ці події не несовместны.
Отримуємо, що [math]p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)[/math] , отже, ці події не незалежні.
Карти [ред.]
[math] A = p(A) = dfrac [/math] — ймовірність випадання карти заданої масті
[math] B=\p(B)=\dfrac [/math] - ймовірність випадання карти заданої гідності
[math] A \cap B = \ \neq \emptyset [/math] , отже, ці події не несовместны.
[math] p(A \cap B)=p(\)=\dfrac[/math] — ймовірність випадання карти заданої масті та заданої переваги
Отримуємо, що [math]p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)[/math] означає ці події незалежні.
Чесна монета [ред.]
[math] A = \\ [/math] - випадання орла
[math] B=\\ [/math] - випадання рішки
[math] A \cap B = \emptyset [/math] означає ці події несумісні.
Тетраедр Бернштейна [ред.]
Попарно незалежні події та події, незалежні в сукупності — це не одне й те саме.
Розглянемо правильний тетраедр, три грані якого забарвлені відповідно в червоний, синій, зелений кольори, а четверта грань містить усі три кольори.
[math] A [/math] - випадання грані, що містить червоний колір
[math] B [/math] - випадання грані, що містить синій колір
[math] C [/math] - випадання грані, що містить зелений колір
Так як кожен колір є надвох гранях із чотирьох, ймовірність кожної з цих подій дорівнює:
Так як одна грань містить всі три кольори, а інші - по одному, то ймовірність перетину будь-яких двох подій дорівнює: [math] p (A \ cap B) = p (A \ cap C) = p (B \ cap C) = \dfrac [/math]
[math]p(A) \cdot p(B)=p(A) \cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]
Усі події попарно незалежні, оскільки:
[math] p (A \ cap B) = p (A) \ cdot p (B) [/ math]
[math]p(A \cap C)=p(A) \cdot p(C)[/math]
[math]p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)[/math]
Імовірність перетину всіх трьох дорівнює: [math] p (A \ cap B \ cap C) = dfrac [/ math]
[math]p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac\cdot\dfrac\cdot\dfrac=\dfrac[/math]
Події не є незалежними в сукупності, так як: [math] p (A \ cap B \ cap C) \ neq p (A) \ cdot p (B)
Отримали, що події є попарно незалежними, але не є незалежними в сукупності, отже, ці два поняття — не те саме, що ми й хотіли показати.