Одиниця у перетвореннях

Враховуючи, що a · 1 = 1 · a = a , одиницю можна приписати співмножником до будь-якого виразу. Сама собою одиниця в цьому випадку нічого не змінює, але її можна уявити в іншій, зручній для перетворень формі. Зокрема, користуючись формулами, зображеними на квіточці.

1) Наприклад, у вигляді дробу, в якому чисельник дорівнює знаменнику. Часто цей прийом дозволяє значно спростити вихідний вираз.Але! не забуватимемо, що таким чином ми могли змінитиобласть допустимих значень (ОДЗ) виразу і втратити рішення. Тому потрібно приділити особливу увагу аналізу ОДЗ вихідного та нового виразів та перевірки перевірки отриманих результатів.

Отже, якщо ми представляємо одиницю дробом, то вводимо обмеження"знаменник ≠ 0" (на 0 ділити не можна!). У наведених прикладах ми могли внести такі обмеження:

x ≠ 0 та y ≠ 0; a ≠ −b; sinx ≠ 0, що рівносильно x ≠ πn, де n Є Z; x > 0, x ≠ 1, y > 0 (за визначенням логарифму) і logx y ≠ 0, що рівносильно y ≠ 1.

Значить, потрібно перевірити чи допустимі ці значення змінних для вихідного виразу. Якщо так, то чи не є якісь із них рішенням завдання.

2)Будь-яке число в нульовому ступені дає одиницю. Будь-яке з тих, які взагалі можна зводити в нульовий ступінь.

У зв'язку з цим згадаємо:

Для будь-якого числа а визначено операцію зведення в натуральний ступінь.
Для будь-якого числа а≠0 визначено операцію зведення в нульовий і цілий негативний ступінь.
Для будь-якого числа а≠0 визначено операцію зведення в позитивний дробовий ступінь.
Для будь-якого а>0 визначено операцію зведення внегативний дробовий ступінь.
Для будь-якого а>0 також визначено ступінь з ірраціональним показником.
Для будь-якого а>0 визначено ступінь із дійсним показником.

Таким чином,не має сенсу лише нульовий ступінь числа 0.

3) logaa = 1 безпосередньо за визначенням логарифму. (Це можна розуміти так: "якщо при зведенні в ступінь деякого числа отримано це число, значить зводили в першу ступінь".) При вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей дуже часто застосовують цей прийом. Це просто - замінюємо одиницю на логарифм з необхідною основою і таким самим аргументом.

Що ми могли при цьому зіпсувати в ОДЗ? Швидше за все нічого, тому що, як правило, вибирається та основа логарифму, яка вже є у виразі, а значить врахована в ОДЗ. Тим не менш, пам'ятаємо - за визначенням а ≠ 1 і а > 0. Відповідно, у наведених прикладах:

4) Щодо використання формулиsin 2 α + cos 2 α = 1 у тригонометрії, то тут проблем взагалі немає. Функції sinx та cosx визначені для будь-яких значень аргументу.

5) Те, що добуток тангенса на котангенс того ж кута дорівнює одиниці, теж нескладно запам'ятати. Проте і tg, і ctg мають обмеження область допустимих значень аргументів, яких, природно, немає одиниця. Отже, користуючись цієї формулою, ми виключаємо з розгляду значення кутів, котрим або синус, або косинус рівні нулю, тобто. всі значення кратні π/2. Не забудьте перевірити, як поводиться вихідний вираз при цих значеннях аргументів! Можна просто підставити їх за умови завдання.Отже, у наведенихприклади перевірки підлягають:

де n, k, m – цілі числа.

8) Ще зручніше буває представляти одиницю в іншій формі при обчисленні числових значень виразу. Тут проблем з ОДЗ немає, і можна значно скоротити обсяг роботи, якщо вдало підібрати формулу.

Обчислити значення

(2 + 1) · (2 2 + 1) · (2 4 + 1) · (2 6 + 1) · (2 8 + 1) · (2 16 + 1) × × (2 32 + 1) )·(2 64 + 1): (2 128 − 1)

1 · (2 + 1) · (2 2 + 1) · (2 4 + 1) ·. = (2 − 1)·(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·.

Помічаємо, що до перших двох співмножників можна застосувати одну з формул скороченого множення, а самеa 2 − b 2 = (a − b)·(a + b).

(2 − 1)·(2 + 1) = (2 2 − 1 2 ) = (2 2 − 1)

(2 − 1)·(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·. = (2 2 − 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·.

Знову бачимо можливість застосування цієї формули

(2 2 − 1)·(2 2 + 1) = (2 4 − 1).

Продовжуємо діяти також

(2 4 − 1)·(2 4 + 1) = (2 8 − 1); (2 8 − 1)·(2 8 + 1) = (2 16 − 1); (2 16 − 1)·(2 16 + 1) = (2 32 − 1); (2 32 − 1)·(2 32 + 1) = (2 64 − 1); (2 64 − 1)·(2 64 + 1) = (2 128 − 1).

Таким чином нам удалося згорнути всі співмножники до одного (2 128 − 1) . В результаті весь вираз набув вигляду:

(2 128 − 1): (2 128 − 1).

Для вирішення завдань на обчислення користуйтеся ідеями, що представлені на наступній картинці.

PS: Див також брошуру "Як готуватися до іспиту з математики" Івлієвої E.Г.

Перейти на головну сторінку сайту.

Є питання? побажання? зауваження? Звертайтеся - [email protected]