Оптимізація портфеля за допомогою моделі Марковиця
Модель заснована на тому, що показники прибутковості різних цінних паперів взаємопов'язана: зі зростанням прибутковості одних паперів спостерігається одночасне зростання за іншими паперами, треті залишаються без зміни, а по четвертих, навпаки, прибутковість знижується. Такий вид залежності перестав бути детермінованим, тобто. однозначно певним, а стохастичним і називається кореляцією.
Модель Марковиця має такі основні припущення:
- В якостідохідностіцінного паперу приймаєтьсяматематичне очікування дохідності;
- якризикуцінного паперу приймаєтьсясереднє квадратичне відхилення прибутковості;
— приймається, що дані минулих періодів, що використовуються при розрахунку прибутковості та ризику, повною мірою відображають майбутні значення прибутковості;
- Ступінь і характер взаємозв'язку між цінними паперами виражаєтьсякоефіцієнтом лінійної кореляції.
За моделлю Марковиця прибутковість портфеля цінних паперів — це середньозважена прибутковість паперів, його складових і визначається формулою:
де N - кількість цінних паперів у портфелі;
- Відсоткова частка цього паперу в портфелі;
- Дохідність даного паперу.
Ризик портфеля цінних паперів визначається середнім квадратичним відхиленням прибутковості портфеля:
,
де , - Відсоткові частки даних паперів в портфелі;
, - Ризик даних паперів (середньоквадратичне відхилення);
-Коефіцієнт лінійної кореляції.
З використанням моделі Марковиця для розрахунку характеристик портфеля пряме завдання набуває вигляду:
Зворотне завдання представляється аналогічним чином:
При практичному застосуванні моделі Марковіца для оптимізації фондового портфеля використовуютьсятакі формули:
1) дохідність цінних паперів:
,
де Т – кількість минулих спостережень прибутковості даного цінного папера.
2) ризик цінного паперу (у вигляді оцінки середнього квадратичного відхилення):
3) статистична оцінка коефіцієнта кореляції між показниками прибутковості двох цінних паперів:
,
- Дохідність цінних паперівaіbв періодt.
Зрозуміло, що з N аналізованих цінних паперів необхідно розрахувати
коефіцієнтів кореляції
Проведемо чисельне моделювання оптимізації фондового портфеля, використовуючи модель Марковиця до розрахунку характеристик портфеля. Навіть використовуючи модель оптимізації, підбирати оптимальний портфель вручну неможливо. Для вирішення оптимізаційної задачі було використано додаток електронних таблиць EXCEL під назвою Solver (пошук рішень).
Прибутковість цінних паперів принципово складається з
- капіталізованої прибутковості, пов'язаної із зміною курсової ціни цінних паперів,
- дивідендної чи відсоткової доходності.
Покажемо реалізацію моделі в ЕТ Excel. Спочатку виберемо дані щодо тих акцій, які задовольняють принципу Паретто.
Організуємо обчислення цільової функції в Excel
| ТРАНСП(B70:B76) |
| СУМПРОВИЗВ(D87:J87; D88:J88) |
Обчислимо коефіцієнти коваріації між прибутковістю обраних нами акцій:
Дані-Пакет Аналізу-Коваріація. (Див. малюнок)
Результатом буде матриця підступів, отримана в наступному вигляді:
Далі нам необхідно буде виконати матричне множення, для цього необхідно, щоб в отриманій матриці не було порожніх осередків. Зауважимо,що матриця симетрична щодо головної діагоналі, тому слід отримати у «порожніх» осередках відповідні значення. Як це зробити?
Один із варіантів – транспонувати вихідну матрицю за допомогою функції ТРАНСП
| =(D94+D103) |
| =(C94+C103)/2 |
| ТРАНСП(C94:I100) І натиснути CTRL+SHIFT+Enter |
Далі для обчислення ризику портфеля робимо так:
| ТРАНСП(D88: J88) |
Тепер додамо обмеження до моделі, як показано нижче на малюнку.
Остаточно маємо за моделлю Марковиця
Наступний етап – оптимізація, яка виконується за допомогою інструментаДані- Пошук рішення. Покажемо, як це зробити технічно.
Остаточно маємо наступну оптимізацію
Це означає, що 34,4% грошових інвестицій вкласти в акції з прибутковістю 1,00% та 65,59% в акції з прибутковістю 1,47%, у наших позначках це акція 1 та акція 19
Як вихідні дані для моделювання використано щотижневі котирування акцій шести підприємств України протягом певного періоду. У таблиці 1 представлені дані про дохідність акцій у аналізований період, приймаючи дохідність, що дорівнює відносному зростанню (зниженню) котирувань.
За підсумками даних табл. 4.9.1 розраховані доходність (математичне очікування) та ризик (середньоквадратичне відхилення) кожного цінного паперу. Результати розрахунку доходності та ризику цінних паперів представлені в табл. 4.9.2. У табл. 4.9.3 розраховано коефіцієнти лінійної кореляції між прибутковістю цінних паперів.
Табл. 4.9.1. Вихідні дані про прибутковість цінних паперів
| НОМЕР ПЕРІОДУ | ||||||||
| Цінніпапери: | ||||||||
| Акції 1 | -1,25% | 0,00% | 4,43% | -12,12% | 32,41% | -5,21% | -17,58% | 14,00% |
| Акції 2 | -15,56% | 0,00% | 72,11% | 10,86% | 22,76% | 1,12% | 6,67% | -8,33% |
| Акції 3 | 11,24% | 0,00% | 19,79% | 17,39% | -4,07% | 4,25% | -25,93% | -9,00% |
| Акції 4 | 0,00% | 0,00% | 2,30% | 1,12% | 0,00% | 0,00% | 16,56% | 0,00% |
| Акції 5 | -0,85% | 14,89% | 33,59% | -27,09% | 0,12% | 23,29% | -4,41% | 2,62% |
| Акції 6 | 47,37% | -11,90% | -9,46% | 4,48% | 22,00% | -4,92% | -3,33% | -8,66% |
| НОМЕР ПЕРІОДУ | ||||||||
| Цінні папери: | ||||||||
| Акції 1 | 0,00% | -3,46% | -10,00% | 30,00% | 1,23% | -8,97% | -1,45% | |
| Акції 2 | 1,14% | 3,45% | 5,20% | -7,65% | -13,21% | 2,76% | 8,52% | |
| Акції 3 | 23,08% | 10,60% | 0,98% | 0,00% | 12,34% | 0,00% | -34,00% | |
| Акції 4 | 0,00% | 5,76% | 1,54% | -0,70% | 0,00% | -1,46% | -12,51% | |
| Акції 5 | 0,32% | 13,40% | 4,70% | 0,00% | -23,51% | 9,43% | 3,01% | |
| Акції 6 | -3,77% | -1,20% | 0,00% | 32,10% | 17,30% | 2,01% | -1,92% |
Табл. 4.9.2. Прибутковість і ризик цінних паперів, що розглядаються.
| Прибутковість | Ризик | |
| Акції 1 | 1,47% | 14,18% |
| Акції 2 | 5,99% | 20,72% |
| Акції 3 | 1,78% | 15,85% |
| Акції 4 | 0,84% | 5,76% |
| Акції 5 | 3,30% | 15,45% |
| Акції 6 | 5,34% | 16,93% |
При чисельному моделюванні було встановлено необхідну дохідність портфеля 4 %, допустимий ризик портфеля 8 %. Користуючись вбудованою функцією табличного процесора Excel Solver “пошук рішення”, було вирішено пряме і зворотне завдання оптимізації фондового портфеля. Після обробки даних були розраховані оптимальні структури портфеля з цінних паперів, що розглядаються, що забезпечують максимально можливу прибутковість при заданому рівні ризику (пряме завдання) або мінімально можливий ризик при заданій прибутковості (зворотне завдання). Отримані результати наведено в табл. 4.9.4.
Табл. 4.9.3. Коефіцієнти кореляції між прибутковістю цінних паперів
| Акції 1 | 0,06 | 0,01 | -0,30 | 0,06 | 0,41 |
| Акції 2 | 0,15 | 0,08 | 0,50 | -0,37 | |
| Акції 3 | 0,08 | 0,01 | 0,14 | ||
| Акції 4 | -0,03 | -0,11 | |||
| Акції 5 | -0,40 | ||||
| Акції 6 |
Табл. 4.9.4. Структури оптимального портфеля за моделлю Марковиця
| Структура портфеля | ||
| Пряме завдання | Зворотне завдання | |
| Вимоги: | Ризик менше 8% | Прибутковість понад 4% |
| Акції 1 | 0% | 0% |
| Акції 2 | 26% | 20% |
| Акції 3 | 0% | 0% |
| Акції 4 | 10% | 24% |
| Акції 5 | 19% | 18% |
| Акції 6 | 45% | 38% |
| Характеристики | Прибутковість 4,68% | Прибутковість 4% |
| оптимального портфеля | Ризик 8% | Ризик 6,65% |
Основний недолік моделі Марковиця - очікувана прибутковість цінних паперів приймається рівною середньою прибутковістю за даними минулих періодів. Тому модель Марковиця раціонально використовувати при стабільному стані фондового ринку, коли бажано сформувати портфель з цінних паперів різного характеру, що мають більш-менш тривалий термін життя на фондовому ринку.
Остання модифікація цієї сторінки: 2016-07-23