Парадокс берегової лінії
Парадокс берегової лінії полягає в тому нелогічному спостереженні, що берегова лінія суші не має чітко визначеної довжини. Це з фракталоподобным властивістю берегової лінії. Перше зареєстроване спостереження цього явища було зроблено Льюїсом Фрай Річардсон. Більш конкретно, довжина берегової лінії залежить від методу, що використовується для виміру.
З суші має особливості на всіх рівнях, від сотні кілометрів у розмірі до крихітних часток міліметра і нижче, немає жодних очевидних обмежень на розмір найменших особливостей, і, отже, жодного чітко визначеного периметру суші не зафіксовано. Різні апроксимації існують при певних припущеннях мінімального розміру.
Прикладом парадоксу служить усім відоме узбережжя Великобританії. Якщо берегова лінія Великобританії вимірюється з використанням фрактальних одиниць у 100 км (62 милі) у довжину, то довжина берегової лінії становить близько 2800 км (1700 миль). З одиницею в 50 км (31 миль), загальна довжина становить близько 3400 км (2100 миль), приблизно на 600 км (370 миль) довша.
Основна концепція довжини походить від Евклідова відстані. У знайомій евклідовій геометрії пряма лінія представляє найкоротшу відстань між двома точками; ця лінія має лише одну кінцеву довжину. Геодезична довжина на поверхні сфери, звана великою довжиною кола, вимірюється по поверхні кривої, яка існує в площині, що містить кінцеві точки шляху та центр сфери. Довжина основної кривої є складнішою, але може бути розрахована. Вимірюючи за допомогою лінійки, людина може апроксимувати довжини кривої додаванням суми прямих ліній, що з'єднують точки:
Використовуючи кілька прямих наближених до довжини кривоїбуде зроблено низьку оцінку. Використання дедалі більш коротких ліній вироблятиме суму довжин, яка наближається до справжньої довжини кривої. Точне значення цієї довжини можна встановити за допомогою обчислення, - розділу математики, що дозволяє розраховувати нескінченно малі відстані. Наступна анімація ілюструє цей приклад:
Однак не всі криві можуть бути виміряні таким чином. Фрактальною за визначенням вважається крива зі складними змінами шкали вимірювання. Зважаючи на наближення гладкої кривої ближче і ближче до одного значення у міру збільшення точності вимірювань, вимірюване значення фракталів може суттєво змінитись.
Довжина "справжнього фракталу" завжди прагне нескінченності. Проте , ця цифра полягає в ідеї, що простір може бути підрозділено до невизначеності, тобто. бути необмеженим. Це фантастика, яка лежить в основі евклідової геометрії і служить як корисна модель у повсякденних вимірах, майже напевно не відображає змінні реалії «простору» і «відстань» на атомному рівні. Берегові лінії відрізняються від математичних фракталів, вони утворюються з численних дрібних деталей, які створюють моделі лише статистично.
З практичних міркувань можна використовувати вимірювання при відповідному виборі мінімального розміру порядкової одиниці. Якщо берегова лінія вимірюється за кілометри, то невеликі варіації набагато менші, ніж за один кілометр і їх легко ігнорувати. Для вимірювання берегової лінії в сантиметрах, малі зміни розміру повинні бути розглянуті. Використання різних методик вимірювання різних одиниць також руйнує звичайну впевненість, що блоки можуть бути перетворені за допомогою простого множення. Останні випадкиберегової лінії включають парадокс фіордів важких узбережжя Норвегії, Чилі та Тихоокеанського узбережжя Північної Америки.
Незадовго до 1951 року, Льюїс Фрай Річардсон, у дослідженні можливого впливу довжини кордону на ймовірність війни, зауважив, що португальці представили свої виміряні кордони з Іспанією, довжину в 987 км, але Іспанія повідомила її як 1214 км. Це було початком проблеми берегової лінії, яку математично складно виміряти через нерегулярність самої лінії. Переважним методом оцінки довжини кордону (або берегової лінії) було накладення N кількості рівних відрізків з довжиною ℓ з роздільниками на карті або пташиного польоту. Кожен кінець сегмента має бути на кордоні. Дослідивши розбіжності в оцінці кордонів, Річардсон виявив те, що зараз називається ефектом Річардсона: сума сегментів обернено пропорційна загальній довжині сегментів. По суті, тим коротша лінійка, тим більша виміряна межа; іспанськими та португальськими географами кордон був просто виміряний за допомогою різної довжини лінійок. В результаті вразило Річардсона те, що, за певних обставин, коли довжина лінійки ℓ прагне нуля, довжина берегової лінії також прагне нескінченності. Річардсон вважає, що на підставі геометрії Евкліда берегова лінія підходитиме до фіксованої довжини, як робити подібні оцінки правильних геометричних фігур. Наприклад, периметр правильного багатокутника, вписаного в коло, наближається до кола зі збільшенням числа сторін (і зменшення довжини однієї сторони). У геометричній теорії заходи така гладка крива, як коло, до якого можуть бути наближені невеликі прямі сегменти з певною межею, називається кривою, що спрямовується.
Більше десяти років після того, як Річардсон завершив свою роботу, Бенуа Мандельбротрозробив нову область математики - фрактальну геометрію для опису саме таких неспрямлюваних комплексів у природі у вигляді нескінченної берегової лінії. Власне визначення нової фігури, що виступає як підстава для його дослідження: Я вигадав фрактал від латинського прикметника «фрагментований» щоб створити нерегулярні фрагменти. Тому доцільно. що, крім "фрагментованих". розірвані повинні також означати "нерегулярні".
Заява Мандельброта Ефекту Річардсона:
де L, довжина берегової лінії, функція одиниці виміру, ε, апроксимується виразом. F є постійним і D це параметр Річардсона. Він не дав теоретичне пояснення, але Мандельброт визначив D з нецілою формою розмірності Хаусдорфа, пізніше – фрактальної розмірності. Перегрупувавши праву сторону виразу отримуємо:
де Fε-D має бути кількістю одиниць ε, необхідних для отримання L. Фрактальна розмірність - число розмірів фракталу, що використовуються для апроксимації фракталу: 0 для точки, 1 для лінії, 2 для площі. D у виразі знаходиться між 1 і 2, для узбережжя зазвичай менше, ніж 1,5. Ламаний вимір узбережжя не поширюється в одному напрямку і не є область, але є проміжним. Це можна інтерпретувати як товсті лінії чи смуги шириною 2ε. Більш ламані берегові лінії мають більшу D і, отже, L більше за той самий ε. Мандельброт показав, що D залежить від ε.