Підбираючись по дереву множників у пошуках простих чисел
Як скаже вам будь-який експерт з GRE, Quantitative section – це перевірка на кмітливість, а не на вміння рахувати. Її також можна назвати психологічним тестом, створеним, щоб налякати недосвідченого учасника великими та страшними на вигляд числами.
На щастя, завжди є метод приборкання математичного шаленства GRE і, отже, спосіб зробити ці лякаючі числа більш простими для розуміння. І саме тут дерево множників - одна з найсильніших знарядь в арсеналі проти математики в GRE - виявляється корисною.
Основи дерева множників
Ви можете з любов'ю (або без неї) згадати створення дерев множників у початковій школі. Вони дозволяють розбити велике число на дрібніші та зручніші частини.
Спочатку нам слід розглянути основи того, як знайти прості множники. Ми почнемо з використання пересічного дерева множників, плодом якого є будь-яке позитивне складне число.
Наприклад, хочемо знайти прості множники 60.
Ми можемо почати з будь-яких двох множників 60, обидва з яких будуть меншими за 60, а при перемноженні дадуть саме це число. Тут ми беремо 2 і 30. Щоразу, знаходячи просте число, обводимо його, тому що ця «гілка» закінчується. У цьому прикладі 2 - просте, отже, укладаємо його в коло.
Далі ми так само можемо розбити 30: використовуємо 3 і 10, обводимо 3 - просте число. Потім ми ділимо 10 на 2 і 5, кожне з яких теж просте, і поміщаємо їх у кружечки.
Все це повідомляє нам про число 60 наступних речей. Відразу ж зрозуміло, що його простими множниками є 2, 3 і 5. А що ще важливіше, ми дізнаємося: 60 можна уявити як добуток тих чисел, які ми обвели зовсім недавно: 2 х 2 х 3 х 5.
Запам'ятайте простічисла
Прості числа це цеглинки будь-якого позитивного складного числа. Інакше висловлюючись, будь-яке позитивне складне число то, можливо представлено як безліч простих чисел, перемножених між собою.
Заучування хоча б кількох перших простих чисел — 2, 3, 5, 7, 11, 13 обов'язково принесе користь будь-якому цілеспрямованому чемпіону GRE. Ви помітите, що 2 - це найменше і єдине парне просте число. Запам'ятайте, не всі непарні числа після 2 прості (наприклад, 9 — складне число, тому що воно ділиться на 3), але після 2 усі прості числа відносяться до непарних.
Приборкання математики GRE
Тож чим корисна ця інформація для вирішення Quantitative section? Дерева множників - це просто щось, вигадане математиками для збільшення обсягу матеріалу, який доводиться вивчати студентам перед GRE? Може, чи варто обговорити це на вечірках?
Навпаки, знаходження простих множників може зберегти ваш час та зусилля при вирішенні Quantitative section на іспиті GRE, якщо ви знаєте, як застосувати цю концепцію. Щоразу, коли вам здається, що GRE намагається змусити вас перемножувати або ділити дуже великі числа - давайте використовувати науковий термін «БСЧ» від Великі Страшні Числа - це чудовий шанс на застосування розкладання на прості множники як обхідний шлях.
Уявіть, що GRE видає вам таку формулу і просить знайтиb:
Може бути, математичні боги GRE відчувають співчуття до бідних душ, які збираються сидіти і шукати, скільки ж буде 105 х 105 х 105, а потім знайти точний твір 21 х 25 х 45 і наприкінці розділити один БСЧ на інше. Як вам такий приклад неефективності?
Саме критичне мислення приходить тут на допомогу.вставки улюбленої патетичної музики]. Студенти повинні подумати: «GRE міг би видати мені будь-які числа у світі, тому має бути якась причина, чому тут вибрано саме ці». Подібна задача сама призводить до застосування розкладання на прості числа. А після цього математичні дії стають відносно невинними.
Прості множники - ваші друзі
Щоб вирішити запропоноване вище завдання, почнемо зі знаменника. Використовуючи дерева множників, знаходимо: 21 = 3 х 7, 25 = 5 х 5, а 45 = 3 х 3 х 5.
Тепер перейдемо до чисельника. У задачі сказано: 105³, тому давайте почнемо зі 105. Просто глянувши на 105, ми можемо сказати, що воно кратне 5. Але 105 – це скільки разів по 5? Добре, 5х20 буде рівно 100, значить, нам потрібна ще одна п'ятірка. Отже, 105 = 5 х 21, а 21 розкладається на 3 х 7, як ми бачили вище. Отже, 105 = 3х5х7. Однак у нас 105 у кубі. Тому ми маємо тричі написати цю комбінацію в чисельнику.
Це перетворюється на вправу, яку математики називають — користуючись ще науковою термінологією — «викреслювання». Давайте застосуємо тактику ніндзя для якомога більшої кількості чисел у верхній та нижній частинах дробу та подивимося, що залишиться. Викреслюємо всі трійки та п'ятірки і лише по одній сімці зверху та знизу. Вуаля, в результаті отримуємо просто 7х7, або 49.
Доведеться трохи повправлятися у вербальній частині, але математика вже не так лякає, правда? І так, не соромтеся, приносите дерева множників на вечірки. або не робіть цього, якщо хочете продовжувати отримувати запрошення.
Автор перекладу - Давиденко В'ячеслав, засновник компанії MBA Consult.