Підручник Загальна теорія статистики - Єлісєєва І
Назва:Загальна теорія статистики - Єлісєєва І.І.
Рейтинг:
Наприклад, є три ділянки земельної площі зі сторонами квадрата:х1= 100 м;х2= 200 м;х3=300 м. Замінюючи різні значення довжини сторін на середню, ми, очевидно, маємо виходити із збереження загальної площі всіх ділянок. Арифметична середня величина (100+ 200 + 300) : 3 =200 м не задовольняє цій умові, оскільки загальна площа трьох ділянок зі стороною 200 м дорівнювала: 3∙(200 м)2 = 120 000 м2. У той самий час площа вихідних трьох ділянок дорівнює: (100 м)2 + (200 м) + (300 м)2 = 140 000 м . Правильна відповідь дає квадратична середня:
У другій частині розділу буде показано, що головною сферою застосування квадратичної середньої з п'ятої властивості середньої арифметичної величини є вимірювання варіації ознаки в сукупності.
Аналогічно, якщо за умовами завдання необхідно зберегти незмінною суму кубів індивідуальних значень ознаки при їх заміні на середню величину, ми приходимо до середньої кубічної, що має вигляд:
Середня геометрична величина
Якщо за заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінним добуток індивідуальних величин, слід застосуватигеометрическую середню величину.Її формула така:
Основне застосування геометрична середня знаходить щодо середніх темпів зростання, про що сказано у розділі 9. Нехай, наприклад, внаслідок інфляції за перший рік ціна товару зросла в 2 рази до попереднього року, а за другий рік ще в 3 рази до рівня попереднього року . Зрозуміло, що за два роки ціна зросла у 6 разів. Який середній темп зростання ціни протягом року? Арифметична середня тут непридатна, бо якби за рік ціни зросли б урази, то за два роки ціна зросла б у 2,5 2,5 = 6, 25 рази, а не в 6 разів. Геометрична середня дає правильну відповідь: рази.
Геометрична середня величина дає найбільш правильний за змістом результат опосередкування, якщо завдання полягає у знаходженні такого значення ознаки, який якісно був би рівно віддалений як від максимального, так і від мінімального значення ознаки. Наприклад, якщо максимальний розмір виграшу в лотереї становить мільйон карбованців, а мінімальний - сто карбованців, то яку величину виграшу можна вважати середньою між мільйоном і сотнею? Арифметична середня явно непридатна, вона становить 500 050 руб., а це, як і мільйон, великий, не середній виграш; він якісно однорідний з максимальним і різко відмінний від мінімального. Не дають правильної відповіді ні квадратична середня (707 107 руб.), ні кубічна (793 699 руб.), ні аналізована далі гармонійна середня (199,98 руб.), Занадто близька до мінімального значення. Тільки геометрична середня дає вірну з погляду економіки та логіки відповідь: руб. Десять тисяч – не мільйон, і не сотня! Це справді щось середнє між ними.
Середня гармонійна величина
Якщо за умовами завдання необхідно, щоб незмінною залишалася за умови опосередкування сума величин, обернених індивідуальним значенням ознаки, то середня величина єгармонійною середньою.
Формула гармонійної середньої величини така:
Наприклад, автомобіль із вантажем від підприємства до складу їхав зі швидкістю 40 км/год, а назад порожняком - зі швидкістю 60 км/год.
Яка середня швидкість автомобіля за обидві поїздки? Нехай відстань перевезення становилаsкм. Жодної ролі при розрахунку середньої швидкості величинаsне грає. При заміні індивідуальнихзначень швидкості х1 = 60 і х2 = 40 на середню величину необхідно, щоб незмінною величиною залишився час, витрачений на обидві поїздки, інакше середня швидкість може виявитися будь-якою — від швидкості чепепахило швидкості світла.
Арифметична середня 50 км на годину неправильна, оскільки призводить до іншого часу руху, ніж насправді. Якщо відстань дорівнює 96 км, то реальний час руху становитиме:
У той же час дає гармонійна середня:
Поняття статечної середньої.
Співвідношення між формами середніх величин
Всі розглянуті вище види середніх величин належать до загального типу статечних середніх. Розрізняються вони лише показником. Ступінна середня ступеняkє коріньk-го ступеня з частки від розподілу суми індивідуальних значень ознаки вk--го ступеня на число індивідуальних значень: