Питання-Відповідь рівняння дотичної площини та нормалі

Рівняння дотичної площини: 0*(х-2)+2(у-1)+4(z+1)=0 2y+4z+2=0

Спершу мені здалося, що щось не те. Став писати відповідь, але поки писав і перевіряв, начебто все зійшлося.

"У малому", в маленькій околиці точки M0, поверхня і дотична площина повинні "збігатися", добре прилягати один до одного. Повинні збігатися всі їхні похідні приватного першого порядку.

Якщо рівняння записати як (y-1)/2=(z+1)/4, це буде ОДНЕ рівняння. Одне рівняння задає тривимірному просторі площину.

Нормаль – це пряма лінія. Пряму лінію у просторі не можна задати одним лінійним рівнянням. Тому рівнянь має бути два, кожне задає якусь площину, у перетині двох площин і виходить пряма.

Можна додати рівняння x=2.

Якщо цікаво, то ваше завдання легко вирішується без залучення матаналізу - методами однієї лише аналітичної геометрії.

Виділяючи повні квадрати, запишемо рівняння поверхні у вигляді:

.

Це сфера з центром у точці.

Шуканою нормаллю буде пряма з напрямним вектором. Звідси одразу отримуємо канонічні рівняння нормалі:

.

Вектор є водночас нормальним вектором дотичної площини. Отже, рівняння цієї площини матиме вигляд:

.

Вільний член знаходимо, підставляючи на це рівняння координати точки . Отримаємо звідки шукане рівняння площини:

---