Подання напіврешітки напівгруп правих нулів напівгрупою перетворень – тема наукової статті
ЗОБРАЖЕННЯ НАПІВРЕШАТКИ ПРАВИХ НУЛЬ-ПІВГРУП ПІВГРУПОЮ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Вивчаючи напівгрупу для визначення її структури, було б зручно розглянути точне представлення цієї напівгрупи напівгрупою перетворення. У цьому випадку елементи напівгрупи можна представити у вигляді відповідних перетворень. У деяких випадках, коли напівгрупа досить складна, це представлення може бути єдиним простим способом її опису. У статті розглядається ідемпотентна напівгрупа S, яка є напівґраткою n правих нульових напівгруп. Раніше автор вивчав точні матричні представлення цієї напівгрупи та відповідних напівгруп перетворень, але не всієї напівгрупи S, а лише перетворення піднапівгрупи, яка є мінімальним ідеалом цієї напівгрупи. У статті доведено, що гомоморфізм F: S → ℑ(S), який діє за правилом: F(u) = P u( P u правий зсув, відповідний елементу u ∈ S), є вірним представленням напівгрупи S за допомогою напівгрупи перетворення . Крім того, автором досліджено тип елементів, отриманих при цьому відображенні.
Текст научной работы на тему «Представление полурешетки полугрупп правых нулей полугруппой преобразований»
ЗЯБЛИЦЕВА Лариса Володимирівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри математического аналізу, алгебри і геометрии інституту математики, інформаційних і космічних технологій Північного (Арктичного) федерального університету імені М.В. Ломоносова. Автор 30 наукових публікацій, в т. ч. двух учебных пособий и одной монографии
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУРЕШЕТКИ ПОЛУГРУПП ПРАВЫХ НУЛЕЙ
При вивченні напівгрупи з'ясування її структури зручно розглянути точне уявлення цієї напівгрупи напівгрупою перетворень. У цьому випадку елементи напівгрупи можна подати у вигляді відповідних їм перетворень. У деяких випадках, коли напівгрупа влаштована досить складно, така вистава може бути єдиним простим способом її опису.
Ключові слова: напівгрупа ідемпотентів, напівграти, представлення напівгруп, напівгрупа перетворень.
Розглянемо основні визначення, які у статті.
Елемент х напівгрупи називається ідеєм-потентом, якщо х2 = х. Напівгрупу, кожен елемент якої є ідемпотент, називають напівгрупою ідемпотентів, а також зв'язкою. Комутативна зв'язка називається по-
лурешеткою. Напівгрупа 5, в якій для будь-яких елементів х і у справедливо: х • у • х = х називається прямокутною напівгрупою.
Відомо, що будь-яка напівгрупа ідемпотентів є напіврешіткою прямокутних напівгруп [1]. Це дуже важливий факт, який прояснює структуру такої напівгрупи,
т. до. добре відомі будова і властивості напіврешіток і прямокутних напівгруп. Але, на жаль, для детального з'ясування будови довільної напівгрупи ідемпотентів цього недостатньо.
Оскільки прямокутна напівгрупа ізоморфна прямому твору напівгрупи правих (х • у = у) і напівгрупи лівих (х • у = = х) нулів [1], то розглянемо напівгрупу £, яка є напіврешіткою п напівгруп правих
нулів: £ = і,. Надалі висновки, зроблені для такої напівгрупи, можна буде використовувати і довільної зв'язки.
Для вивчення напівгруп найзручніше як перетворення розглядати праві чи ліві зрушення. Кожному елементу а е £ поставимо у відповідність два перетворення Ра, ха,що переводять £ в £, за правилом:
V х е £: Ра(х) = х • а; Xа (х) = а • х.
Ха (Ра) називається лівим (правим) внутрішнім зсувом напівгрупи S, відповідним елементу a е £ Для напіврешітки напівгруп правих нулів використовуватимемо праві зрушення.
Оскільки (V х е £) (ра рь )(х) = хаЬ = раь (х), то ра рь = раь. Значить, відображення, що ставить у відповідність елементу а напівгрупи його правий зсув р а, буде гомоморфізм напівгрупи £ в напівгрупу перетворень 3 (£).
Будемо надалі позначати елементи з і, символами і в деяких випадках - символами і. або просто а, Ь, і, якщо відомо, про яку саме підполугрупу йдеться.
Запишемо правий зсув елемента. наступним чином: рі =
Або, якщо позначити: uk =
Пропозиція 1. Для напівгрупи £, яка є напіврешіткою п напівгруп правих ну-
лей, гомоморфізм F : S ^ 3 (S), що діє за правилом: F(u) = pu, є точним уявленням напівгрупи S напівгрупою перетворень.
Доведення. Нехай напівгрупа
S = U Ui є напіврешіткою п напівгруп
правих нулів. Відомо, що F – гомоморфізм. Він є точним уявленням напівгрупи S напівгрупою перетворень у разі, якщо з того, що для будь-яких s, t е S якщо ps = pt, то s = t.
Доведемо спочатку, якщо ps = pt, то s і t належать одній підполугрупі Ui. Припустимо неприємне.
Нехай ps = pt, s е U, t е Uj, i Ф j. Розглянемо, як ps і pt діють елементи
з підполугрупи U. та та ■. Нехай u; е U;,
ps(ui) = ui е Ui. Тому pt(ui) = ui, а це означає, що U. = inf(U. , U j).
Аналогічно pt(u) = uj е U, отже, ps(u) = u ■, тобто U = inf(U., U). Це проти-
мовить з того що i Ф J.
Отже, якщо ps = pt, то s та tналежать одній підполугрупі U..
Нехай тепер s і t належать одній підполугрупі U. Доведемо, що якщо в цьому випадку s ф t, то ps ф pt .
Розглянемо, як ps і pt діють елементи s і t.
ps (s) = s • s = s, pi (s) = s • t = t. Т к. s Ф t, то ps(s) Ф pt(s), а значить, ps Ф pt.
З затвердження пропозиції 1 випливає, що напівгрупа S, що є напіврешіткою п напівгруп правих нулів, ізоморфна піднапівгрупі напівгрупи перетворень 3 (S), що складається з правих зрушень елементів напівгрупи S.
Тому, вивчаючи цю підполугрупу, можна вважати, що ми вивчаємо напівгрупу £ Відразу розглядати загальний випадок складно. Тому спочатку максимально спростимо завдання. Розглянемо зв'язку, яка є напіврешіткою двох напівгруп правих нулів і і2 з мінімальним ідеалом і1. Позначимо цю напівгрупу (1). Раніше [2, с. 49] доведено таке твердження:
Пропозиція 2. Якщо £ - напіврешітка двох напівгруп правих нулів, гомоморфізм Е : £ ^ 3 (£) діє наступним чином: якщо для будь-якого і е £ Е(і) = Ри, то для довільних і2 і і2 е і2 розбиття напівгрупи і1, які задаються відповідними їм правими зрушеннями, збігаються.
Далі розглянемо випадок, коли £ = і1 ^ і2 і з, і. - напівгрупи правих нулів, і1,
і, і и2, і, і є власними ідеалами в напівгрупі £. Позначимо цю напівгрупу (2).
У такій напівгрупі добуток будь-яких елементів належить напівгрупі і1. Знову
з'ясуємо, який вигляд мають рі1, рі2, рі3, де
в. є і.. Раніше вже було показано, що Рі1 _
Розглянемо далі, як діє елементи напівгруп і1, і2 і з:
V х е і1: рі2 (х) = х і2 = і1,
V х е і2: рі2 (х) = х і2 = і2,
V х е з: рі2 (х) = х і2 = і1.
Т. е. при дії рі2 наелементи з і2
кожен раз отримуємо елемент і2, при дії на елементи з і1 отримуємо деякий елемент з і1, при дії на елементи з отримуємо деякий елемент з і1.
Збираємо всі елементи з і1, які відображаються в один елемент, збираємо всі елементи з, які відображаються в один елемент, і запишемо перетворення,
е елементу з і2 (у верхньому рядку спочатку йдуть елементи з і1, потім елементи з і2, потім - з):
Аналогічно знаходиться перетворення, що відповідає елементу з: