Постановка задачі про оптимальний портфель - Студопедія

У літературі описано різні підходи до формування оптимального портфеля за допомогою моделей Блека, Марковіца, Тобіна.

Завдання оптимізації зводиться до визначення такої структури складу портфеля інвестицій, щоб величина очікуваного доходу та рівень ризику відповідали цілям інвесторів. При цьому цільовою функцією може бути мінімізація ризику при заданій дохідності, або максимізація доходу при ризику не вище заданого. На компоненти вектораХ, що представляє склад портфеля можуть накладатися різні обмеження, що залежать від виду угоди, типу активів, що беруть участь, величини позицій, що відкриваються і т. д. Портфелі, що задовольняють умовам даного ринку, називаються допустимими.

1) У моделі Блека допустимими є будь-які портфелі, тобто. векторХзадовольняє лише основному обмеженню:

. (4.6)

Наявність коротких позицій (відсутність умови невід'ємності) дозволяє реалізувати будь-яку, скільки завгодно велику прибутковість, природно за рахунок великого ризику.

2) Модель Марковиця розглядає як допустимі лише стандартні портфелі (без коротких позицій). Це означає, що векторХнакладаються два обмеження: основне і неотрицательностиxi ³ 0всімi.

Портфель називають стандартним, якщо інвестор за кожним активом перебуває у довгій (long) позиції.

Довга позиція -це зазвичай купівля активу з наміром його подальшого продажу (закриття позицій). Така купівля зазвичай здійснюється при очікуванні підвищення ціни активу з надією отримати дохід від різниці цін купівлі та продажу. Якщо щодо деякого активу інвестор упевнений у зворотному, тобто у зниженні його вартості, то він може здійснити угоду,яка називається "коротким продажем" (short sale). Для цього він бере цей актив у позику в іншого інвестора (кредитора), відразу ж продає його, а згодом купує на ринку за зниженою ціною і повертає його кредитору. При цьому він зобов'язаний виплатити кредитору поточний дохід за активом за час угоди та певний відсоток за надання можливості операції (за кредит). На більшості фондових бірж короткі продажі цілком допустимі і часто використовуються, але через їхню особливу ризикованість біржі можуть вводити обмеження на загальну величину коротких позицій в угодах.

У моделі Марковиця зазвичай розглядаються два типи завдань оптимізації портфелів: мінімального ризику при заданому рівні прибутковості, і максимальної ефективності при рівні ризику, що не перевищує заданого значення.

Портфель Марковиця мінімального ризику. Постановку цього завдання можна інтерпретувати так. Знайти векторX* розподілу вихідного капіталу, що мінімізує ризик (варіацію) портфеля

(4.7)

при заданій ефективності портфеля

,(4.8)

та умови, що сума часток активів у портфелі повинна становити одиницю

Тут матриця підступівi j =.

Приклад 4.2. Сформувати портфель мінімального ризикуspз двох видів цінних паперів А з ефективністю 12% та ризиком 21,2 та В з ефективністю 5,1% та ризиком 8,3 за умови, що забезпечується дохідність портфеля () mp = S xi mi)не менше 8,9%. Коефіцієнт парної кореляції між цими паперами дорівнює 0,18.

1. Введемо позначення:x1 - частка портфелі цінних паперів А; x2 - частка в портфелі цінних паперів,

2. Сформулюємо завдання формування оптимального портфеля за моделлю Марковиця, з урахуванням вихідних даних.

Необхідно знайти векторХ*= (x1,x2), що мінімізує ризик портфеля:

sp===

= ®min,

при наступних обмеженнях:

Це завдання звелося до завдання квадратичного програмування.

3. Вирішення наведеної задачі можна здійснити графічним методом, або використовуючи надбудову в Excel Пошук рішення.

Графічна ілюстрація розв'язання задачі представлена ​​на рис. 4.5.

Мал. 4.5. Мінімальний ризик портфеля дорівнює 12,88 досягається в точці перетину трьох ліній (x1=0,55 іx2=0,45), відповідних обмежень 12'x1 + 5,1 'x2³8,9 іx1 +x2 =1 і цільової функції

Для вирішення за допомогою надбудови Пошук рішення спочатку на аркуші Excel складається стандартна форма для вирішення оптимізаційних завдань, з використанням надбудови Пошук рішення, як показано на рис. 4.6. Потім безпосередньо використовується сама надбудова Пошук рішення.

Мал. 4.6. Вихідні дані та розрахункові формули

Результати розрахунку складу оптимального портфеля за критерієм мінімального ризику наведено на рис. 4.7.

Рис.4.7. Результати розрахунку складу оптимального портфеля

У осередку Е5 отримано мінімальне значення цільової функціїσp= 12,880, а в осередку B4:C4 записані значенняx1 = 0,551 іx2 = 0,449 - частки цінних паперів типу A та типу B, відповідно. У цьому задані обмеження задовольняються повністю, ефективність портфеля становить 8,9% (комірка G8).

Приклад 4.3. Сформувати портфель мінімального ризику з трьох цінних паперів А, В і С (характеристики паперів наведені в таблиці), забезпечую-

Показник	Тип цінного паперу
A	B	C
Ефективність,mi, %	5,1	9,5
Ризик,σi	21,2	8,3	14,5

щих середню дохідність портфеляmpне менше 12,5%. Матриця коефіцієнтів парної кореляції між цінними паперами відома:

1. Введемо позначення:x1,x2,x3 – відповідні частки цінних паперів А, В та С у складі портфеля.

2. Запишемо економіко-математичну модель (ЕММ) завдання формування оптимального портфеля за моделлю Марковиця в загальному вигляді:

,

3. Підготуємо лист для розв'язання задачі, рис. 4.8. і тут же попередньо сформуємо ковариационную матрицю (комірки F17: H19), елементи якої розраховуються за виразом (4.5).

Мал. 4.8. Аркуш Excel з вихідними даними та розрахунковими формулами для розрахунку складу оптимального портфеля з трьох цінних паперів

4. Запишемо ЕММ завдання у розгорнутому вигляді з урахуванням вихідних умов та розрахованої матриці підступів:

5. В результаті розв'язання задачі в осередках (B5:D5) будуть знаходитися елементи оптимального вектораХ*= (0,23; 0,27; 0,50), що мінімізує ризик портфеля, що становить σp = 1 ,01 (комірка G6) і забезпечує його ефективність 8,9% (комірка E8), рис.4.9.

Мал. 4.9. Аркуш Excel з результатами розрахунку складу оптимального портфеля із трьох цінних паперів

Портфель Марковиця максимальної ефективності.Знайти векторX* , що максимізує очікувану ефективність портфеля

=> max (4.10)

при рівні ризику, що не перевищує заданого значення

, (4.11)

та умови, що сума часток активів у портфелі повинна становити одиницю

Якщо оптимальне рішення значенняxi *³ 0, торекомендується часткуxi*готівкового капіталу вкласти у цінні папериi-го виду. Якщоxi ** ³ 0. Замість операції «короткого продажу» інвестор може скористатися коштами за безризиковою ставкою.

Особливістю моделі Марковиця є те, що прибутковість будь-якого стандартного портфеля не перевищує найбільшу прибутковість активів, з яких він побудований.

Приклад 4.4.Знайти оптимальний портфель максимальної ефективності для трьох цінних паперів R, S і L з відомими доходностямиmiта ризиком σi(див. табл.):

R	S	L
mi (%)	10,5
si

Коефіцієнти парної кореляції між цінними паперами представлені у вигляді матриці:

R	S	L
R	0,52	0,27
S	0,52	0,75
L	0,27	0,75

Верхня межа ризикуpне повинна перевищувати 16.

1. Введемо позначення:x1,x2,x3 – відповідні частки цінних паперів типів R, S та L у складі портфеля.

2. Запишемо ЕММ завдання формування оптимального портфеля за моделлю Марковиця в загальному вигляді:

σp,

3. Сформулюємо ЕММ завдання з урахуванням конкретних вихідних даних. Знайти вектор Х= (x1,x2,x3), що максимізує дохідність портфеляmp.

при наступних обмеженнях

sp = 16

COV =

Для вирішення задачі використовується надбудова EXCEL Пошук розв'язання. Вихідні дані та розрахункові формули представлені на рис. 4.10.

Мал. 4.10. Фрагмент листа Еxcel з вихідними даними та розрахунковими

В результаті рішення отримано максимально можливу прибутковість портфеля 11,32 при значеннях вектора Х, записаних у комірки $B5:$D5 (Рис. 4.11.)

Мал. 4.11. Фрагмент листа Еxcel з результатами розрахунку оптимального портфеля

Відповідь: Максимальну прибутковість 11,29% можна отримати, якщо частки акцій R, S та L становитимуть 0,47, 0,28 та 0,25.

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---