Поверхні другого порядку
Поверхні другого порядку– це поверхні, які у прямокутній системі координат визначаються рівняннями алгебри другого ступеня.
Рівняння (1) називаєтьсяканонічним рівнянням еліпсоїда.
Встановимо геометричний вигляд еліпсоїда. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площиніOxy.Кожна з таких площин визначається рівнянням видуz=h, деh– будь-яке число, а лінія, яка виходить у перерізі, визначається двома рівняннями
(2)
Досліджуємо рівняння (2) при різних значенняхh.
1) Якщо >c(c>0), то і рівняння (2) визначають уявний еліпс, тобто точок перетину площиниz=hз даним еліпсоїдом не існує.
2) Якщо , тоі лінія (2) вироджується в точки (0; 0; +c) і (0; 0; -c) (площини стосуються еліпсоїда).
3) Якщо , то рівняння (2) можна подати у вигляді
звідки випливає, що площинаz=hперетинає еліпсоїд еліпсом з півосями і . При зменшенні значення і збільшуються і досягають своїх найбільших значень при, тобто в перерізі еліпсоїда координатною площиноюOxyвиходить найбільший еліпс з півосями і .
Аналогічна картина виходить і при перетині даної поверхні площинами, паралельними координатним площинамOxzтаOyz.
Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню (рис. 156). Величиниa, b, cназиваютьсянапівосямиеліпсоїда. В разіa=b=cеліпсоїд єсферой.
2.Односмуговий гіперболоїд.
(3)
Рівняння (3) називається канонічним рівнянням односмугового гіперболоїду.
Встановимо вигляд поверхні (3). Для цього розглянемо перетин її координатними площинамиOxy(y=0)іOyx (x=0)> Отримуємо відповідно рівняння
і
з яких випливає, що у перерізах виходять гіперболи.
Тепер розглянемо перерізи даного гіперболоїда площинами z=h, паралельними координатній площиніOxy.Лінія, що виходить у перерізі, визначається рівняннями
або (4)
з яких випливає, що площина z=h перетинає гіперболоїд еліпсом з півосями і ,
досягають найменших значень при h=0, тобто. у перерізі даного гіперболоїда координатною віссю Oxy виходить найменший еліпс із півосями a*=a та b*=b. При нескінченному зростанні величини a* та b* зростають нескінченно.
Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити односмуговий гіперболоїд у вигляді нескінченної трубки, що нескінченно розширюється при віддаленні (по обидва боки) від площини Oxy.
Величини a, b, c називаються півосями односмугового гіперболоїду.
3.Двопорожнинний гіперболоїд.
Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
(5)
Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїду.
Встановимо геометричний вигляд поверхні (5). Для цього розглянемойого перерізу координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння
і
з яких випливає, що у перерізах виходять гіперболи.
Тепер розглянемо перерізи даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатній площині Oxy. Лінія, отримана у перерізі, визначається рівняннями
або (6)
з яких випливає, що при c(c>0) площина z=h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями і . У разі збільшення величини a* і b* теж збільшуються.
При рівняннях (6) задовольняють координати двох точок: (0;0;+с) і (0;0;-с) (площини стосуються даної поверхні).
При рівняння (6) визначають уявний еліпс, тобто. точок перетину площини z=h з даним гіперболоїдом немає.
Величина a, b та c називаються півосями двопорожнинного гіперболоїда.
4.Еліптичний параболоїд.
Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка у певній прямокутній системі координат визначається рівнянням
(7)
Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоїду.
Розглянемо перерізи даної поверхні координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння
і
з яких випливає, що у перерізах виходять параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат.
Тепер розглянемо перерізи даного параболоїда площинами z = h, паралельними координатній площині Oxy. Лінія, що виходить у перерізі, визначається рівняннями
або (8)
з яких випливає, що при площині z=h перетинає еліптичний параболоїд еліпсом з півосями і . При збільшенні величини h і b теж збільшуються; при h = 0 еліпс вироджується в точку (площина z = 0стосується цього гіперболоїду). При h 0 q>0.
Рівняння (9) називається канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда.
Розглянемо переріз параболоїда площиною Oxz (y=0). Отримуємо рівняння
(10)
з яких випливає, що в перерізі виходить парабола, спрямована вгору, симетрична щодо осі Oz з вершиною на початку координат. У перерізах поверхні площинами, паралельними площині Oxz (y=h), виходять також направлені вгору параболи.
розглянемо переріз даного параболоїда площиною Oyz (x=0).
з яких випливає, що і в цьому випадку в перерізі виходить парабола, але тепер спрямована вниз, симетрична щодо осі Oz з вершиною на початку координат. Розглянувши перерізи параболоїда площинами, паралельними площині Oyz (x=h), отримаємо рівняння
у тому числі випливає, що з будь-якому h у перерізі виходить парабола, спрямовану вниз, а вершина її лежить на параболі, певної рівняннями (10).
Розглянемо перерізи параболоїда площинами z = h, паралельними площині Oxy. отримаємо рівняння
або