Прийом кодових комбінацій у дискретних каналах зв’язку з перешкодами

Теорія інформації

Інформаційне забезпечення систем керування

Передача даних

Вище було розглянуто методи прийому елементарних сигналів, якими передавались окремі символи кодової комбінації. Проте повідомлення реальних системах передаються не окремими символами, а вигляді комбінацій символів (кодових комбінацій).

Якщо в каналі зв'язку діє перешкода, один або кілька символів кодової комбінації будуть спотворені. В результаті можливі три основні випадки декодування (розшифрування) прийнятої кодової комбінації:

правильний прийом повідомлення з ймовірністюP ПР(зазвичайP ПРі 0,999);
помилковий прийом повідомлення з ймовірністюP Л ПР(P Л ПРЈ 10 -7 ), тобто помилковий прийом повинен бути практично виключений);
захисна відмова, коли приймається така кодова комбінація, яка не може бути ототожнена з жодним повідомленням списку, тобто з жодною дозволеною кодовою комбінацією.

У разі правильного або помилкового прийому система приймає повідомлення, не знаючи про те, чи воно було спотворено в каналі зв'язку. Сума ймовірностейP ПРіP Л ПРстановить ймовірність прийому взагалі. Імовірність захисної відмови можна вирахувати за формулою

Можна не розраховувати всі ці можливості, а зупинитися на двох з них. Однією з обраних ймовірностей має обов'язково бути вірогідність помилкового прийому.

Можна говорити про ще одну можливість: про можливість підробки повідомлення. Це випадок фіксації повідомлення на приймальній стороні у випадку, коли нічого не передавалося. Подібна ситуація виникає вкрай рідко, тому ця ймовірність оцінюється кількістю повідомлень за кілька років і навітьдесятиліть.

Якість системи оцінюється не вірогідністю правильного, а вірогідністю хибного прийому.

Імовірності правильного, помилкового прийому та захисної відмови залежать як від характеристик каналу зв'язку (q, p 0 , p C), так і кількості помилок в кодовій комбінації.

Кількість помилок прийнято характеризувати кратністюt. Кодова комбінація при цьому може бути спотворена різною кількістю помилок у різних поєднаннях від 0 доt.

У системах передачі говорять про вектор помилки. Це числоK-їчної системи із загальною значимістюn(вона дорівнює значущості кодової комбінації, що передається) і нульовими символами на неспотворених позиціях. Наприклад, у двійкових каналах зв'язку при передачі шестирозрядної кодової комбінації можуть діяти такі вектори помилки:

У першому випадку спотворюється символ третьої позиції, у другому – символи першої і третьої позиціях.

Для двійкового варіанта векторEвизначається вагою помилкиV(E). Надалі припускатимемо, що використовується двійковий канал зв'язку.

Спотворення переданої комбінації математично можна уявити підсумовуванням по модулю дві неспотвореної кодової комбінаціїAі вектора помилкиE:

Припустимо, повідомлення передаються деякими комбінаціями довжиноюnсиметричним каналом зв'язку з параметрамиqіp 0. Нехай на комбінацію, що передається, діє вектор помилкиEiз вагоюi. Імовірність того, що кодова комбінація міститимеiпомилок, можна обчислити за формулою

Помилка кратностіiможе статися в

випадках, а повна ймовірність появи помилок кратностіtу кодовій комбінації зnсимволів

Визначимо ймовірність правильного прийому, помилкового прийому та захисної відмови при використанні різних кодів.

Надлишковий код. Для такого кодуt= 0, тобто він не може не тільки виправити, але навіть виявити жодну помилку.P ПР= (1 –p0)nтобто не спотворений жоден зnелементів, оскільки код є надмірним. (доданок приi= 0 становить вірогідність правильного прийому).P З ОТ= 0. Оцінимо ймовірність помилкового прийому, приймаючиp 0» 10 -4; P Л ПР»n10-4. Таким чином, ненадмірний код не можна використовувати в каналах зв'язку з перешкодами, так як для нього характерна велика ймовірність помилкового прийому.
Надлишковий код у режимі виявлення помилок кратностіr.P ПР= (1 –p0)n, Захисна відмова може виникати не тільки при помилках кратності менше, ніжr, але й в інших випадках (Ai ЈC i n). Імовірність помилкового прийомуBiЈC i n;Bi = C i n - Ai. ВеличиниAiіBiрозраховуються експериментально. Зважаючи на малу ймовірністьр 0при розрахунку ймовірності захисної відмови можна обмежитися кількома доданками: а при визначенні ймовірності хибного прийому – лише першим доданком.
Надлишковий код у режимі виявленнядопомилок та виправленняsз них.

У каналі зв'язку з перешкодами єдиним раціональним способом передачі є передача використання надлишкових кодів, здатних виявляти і/або виправляти помилки.

Розглянемо тепер докладніше способи побудови таких кодів. Вони були розроблені в рамках різних теорій кодування. Найбільш розвинені двігілки теоретичної побудови кодів: комбінаторна та алгебраїчна. Комбінаторна теорія кодування заснована на комбінаториці - розділ математики, що вивчає властивості розміщень, перестановок, поєднань. Вона почала розвиватися у середині ХІХ століття. Алгебраїчна теорія кодування зародилася наприкінці 50-х - на початку 60-х років XX століття.